Трикутник Пенроуз. Створюємо неможливий трикутник

Неможливий трикутник – один із дивовижних математичних парадоксів. При першому погляді на нього ні на мить не можеш засумніватись у його реальному існуванні. Однак це лише ілюзія, обман. А можливість такої ілюзії пояснить нам математика!

Відкриття Пенроузів

У 1958 році Британський психологічний журнал опублікував статтю Л. Пенроуза та Р. Пенроуза, в якій вони ввели до розгляду новий тип оптичної ілюзії, названої ними «неможливий трикутник».

Зрительно неможливий трикутник сприймається як реально існуюча в тривимірному просторі конструкція, що складається з прямокутних брусків. Але це лише оптична ілюзія. Побудувати реальну модель неможливого трикутника не можна.

Стаття Пенроуз містить кілька варіантів зображення неможливого трикутника. - Його «класичне» уявлення.

З яких елементів будується неможливий трикутник?

Точніше, із яких елементів він здається нам побудованим? В основі конструкції лежить прямокутний куточок, що виходить з'єднанням під прямим кутом двох однакових прямокутних брусків. Таких куточків потрібно три штуки, а брусків шість штук. Ці куточки треба певним чином візуально «з'єднати» один з одним так, щоб вони утворили замкнутий ланцюг. Те, що вийде, є неможливий трикутник.

Перший куточок помістимо у горизонтальній площині. До нього приєднаємо другий куточок, направивши одне з його ребер нагору. Нарешті, до цього другого куточка додамо третій куточок так, щоб його ребро було паралельно вихідній горизонтальній площині. При цьому два ребра першого та третього куточків будуть паралельні та направлені в різні боки.

Якщо вважати брусок відрізком одиничної довжини, то кінці брусків першого куточка мають координати, другого куточка - , і, третього - , і. Ми отримали реально існуючу в тривимірному просторі закручену конструкцію.

А тепер спробуємо подумки подивитися на неї з різних точок простору. Уявіть, як вона виглядає з однієї точки, з іншої, третьої. При зміні точки спостереження здаватиметься, що два «кінцеві» ребра наших куточків переміщуються відносно один одного. Не важко підібрати таке становище, коли вони з'єднаються.

Але якщо відстань між ребрами набагато менша за відстань від куточків до точки, з якої ми розглядаємо нашу конструкцію, то обидва ребра матимуть для нас однакову товщину, і виникне уявлення про те, що ці два ребра - насправді продовження один одного. Така ситуація зображена 4.

До речі, якщо ми одночасно подивимося на відображення конструкції у дзеркалі, то там замкненого ланцюга не побачимо.

А з обраної точки спостереження ми на власні очі бачимо чудо, що відбулося: є замкнутий ланцюг з трьох куточків. Тільки не змінюйте точку спостереження, щоб ця ілюзія не зруйнувалася. Тепер можна намалювати видимий об'єкт або помістити в знайдену точку об'єктив фотоапарата і отримати фотографію неможливого об'єкта.

Першим цим явищем зацікавилися Пенроузи. Вони використовували можливості, які виникають при відображенні тривимірного простору та тривимірних об'єктів на двовимірну площину та звернули увагу на деяку невизначеність проектування – незамкнута конструкція з трьох куточків може сприйматися як замкнутий ланцюг.

Доказ неможливості трикутника Пенроуз

Аналізуючи особливості двовимірного зображення тривимірних об'єктів на площині, ми зрозуміли, як особливості цього відображення призводять до неможливого трикутника. Можливо, когось зацікавить і суто математичний доказ.

Довести, що неможливий трикутник не існує, вкрай легко, адже кожен його кут прямий, а їхня сума дорівнює 270 градусів замість «положених» 180 градусів.

Більше того, навіть якщо ми розглядатимемо неможливий трикутник, склеєний із куточків, менших за 90 градусів, то в цьому випадку можна довести, що неможливий трикутник не існує.

Ми бачимо три плоскі грані. Вони попарно перетинаються вздовж прямих. Площини, що містять ці грані, попарно ортогональні, тому вони перетинаються в одній точці.

Крім того, через цю точку повинні проходити лінії взаємного перетину площин. Отже, прямі лінії 1, 2, 3 повинні перетинатися в одній точці.

Але це не так. Отже, представлена ​​конструкція неможлива.

«Неможливе» мистецтво

Доля тієї чи іншої ідеї - наукової, технічної, політичної - залежить від багатьох обставин. І далеко не в останню чергу від того, в якій формі ця ідея буде представлена, в якому образі вона з'явиться широкому загалу. Чи буде втілення сухим і складним для сприйняття, чи, навпаки - явище ідеї буде яскравим, яке захоплює нашу увагу навіть всупереч нашій волі.

У неможливого трикутника доля щаслива. У 1961 р. голландський художник Моріц Ешер завершив літографію, названу ним «Водоспад». Художник пройшов чималий, але швидкий шлях від ідеї неможливого трикутника до її приголомшливого художнього втілення. Нагадаємо, стаття Пенроузов з'явилася 1958 року.

В основі «Водопаду» - два неможливі трикутники, показані. Один трикутник – великий, усередині нього розташований інший трикутник. Може здатися, що зображено три однакові неможливі трикутники. Але не в цьому суть представлена ​​конструкція досить складна.

При побіжному погляді її абсурдність не кожному і відразу буде видно, оскільки кожне з'єднання, представлене, - можливо. як то кажуть, локально, тобто на невеликій ділянці креслення, така конструкція здійсненна… Але загалом вона неможлива! Її окремі шматки не стикуються, не узгоджуються.

А щоб зрозуміти це, ми повинні витратити певні інтелектуальні та зорові зусилля.

Давайте здійснимо подорож по краях конструкції. Цей шлях чудовий тим, що вздовж нього, як здається, рівень щодо горизонтальної площині залишається незмінним. Рухаючись вздовж цього шляху, ми ні вгору не піднімаємось, ні вниз не опускаємося.

І все було б добре, звично, якби наприкінці шляху - а саме в точці - ми не виявили б, що щодо вихідної, початкової точки ми якимось таємничим немислимим чином піднялися вгору по вертикалі!

Щоб дійти цього парадоксального результату, ми маємо вибрати саме цей шлях, та ще й стежити за рівнем щодо горизонтальної площини… Непросте завдання. У її рішенні Ешеру на допомогу прийшла вода. Згадаймо пісню про рух із чудового вокального циклу Франца Шуберта «Прекрасна Мельничиха»:

І спочатку в уяві, а потім під рукою чудового майстра голі та сухі конструкції перетворюються на акведуки, якими біжать чисті та швидкі потоки води. Їх рух захоплює наш погляд, і ось мимо нашої волі ми прямуємо за течією, слідуючи всім поворотам і вигинам шляху, разом з потоком зриваємося вниз, падаємо на лопаті водяного млина, потім знову прямуємо вниз за течією ...

Обходимо цей шлях раз, інший, третій ... і тільки тут усвідомлюємо: рухаючись вниз, ми якимось фантастичним чином піднімаємося вгору! Початковий подив переростає в інтелектуальний дискомфорт. Здається, що ми стали жертвою якогось розіграшу, об'єктом якогось жарту, якого поки що не зрозуміли.

І знову ми повторюємо цей шлях дивним водоводом, тепер уже не поспішаючи, з обережністю, немов побоюючись каверзи з боку парадоксальної картинки, критично сприймаючи все те, що відбувається на цьому таємничому шляху.

Ми намагаємося розгадати ту таємницю, яка вразила нас, і не можемо вирватися з її полону доти, доки не знайдемо приховану пружину, що лежить в її основі і приводить немислиму круговерть у безперервний рух.

Художник спеціально наголошує, нав'язує нам сприйняття його картини як зображення реальних тривимірних об'єктів. Об'ємність підкреслюється зображенням цілком реальних багатогранників на вежах, цегляною кладкою з найакуратнішим уявленням кожної цеглини в стінах акведука, що піднімаються догори терасами з садами на задньому плані. Все покликане переконати глядача у реальності того, що відбувається. І завдяки мистецтву та чудовій техніці ця мета досягнута.

Коли ж ми вириваємося з полону, в який потрапляє наша свідомість, починаємо порівнювати, зіставляти, аналізувати, то знаходимо, що основа, джерело цієї картини, приховані в особливостях проектування.

І ми отримали ще один - "фізичний" доказ неможливості "неможливого трикутника": якби такий трикутник існував, то існував би і "Водоспад" Ешера, який є по суті вічний двигун. Але вічний двигун неможливий, отже неможливий і «неможливий трикутник». І, напевно, цей «доказ» – найпереконливіший.

Що зробило Моріца Ешера феноменом, унікумом, який не мав у мистецтві явних попередників і якого неможливо наслідувати? Це комбінація площин і обсягів, пильна увага до химерних форм мікросвіту - живого та неживого, до незвичайних точок зору на звичайні речі. Основний ефект його композицій – ефект появи неможливих стосунків між знайомими предметами. Ці ситуації з першого погляду можуть налякати, і викликати посмішку. Можна радісно дивитися на забаву, яку пропонують художник, а можна серйозно поринути у глибини діалектики.

Моріц Ешер показав, що світ може бути зовсім не таким, яким ми його бачимо і звикли сприймати – треба лише подивитися на нього під іншим новим кутом зору!

Моріц Ешер

Мориці Ешеру більше пощастило як вченому, ніж художнику. У його гравюрах та літографіях бачили ключі до доказу теорем або оригінальні контрприклади, що кидають виклик здоровому глузду. На крайній край їх сприймали як чудові ілюстрації до наукових трактатів з кристалографії, теорії груп, когнітивної психології або комп'ютерної графіки. Моріц Ешер працював у галузі співвідношень простору, часу та їх тотожності, використовував базові зразки мозаїк, застосовуючи до них трансформації. Це великий майстер оптичних обманів. Гравюри Ешера зображують не світ формул, а красу світу. Їхній інтелектуальний склад докорінно протилежний алогічним витворам сюрреалістів.

Голландський художник Моріц Корнеліус Ешер народився 17 червня 1898 року у провінції Голландії. У будинку, в якому народився Ешер, зараз знаходиться музей.

З 1907 року Моріц навчається теслярській справі та грі на піаніно, навчається у середній школі. Оцінки з усіх предметів Моріца були поганими за винятком малювання. Вчитель малювання помітив талант у хлопчика та навчив його робити гравюри по дереву.

В 1916 Ешер виконує свою першу графічну роботу, гравюру на фіолетовому лінолеумі - портрет свого батька Г. А. Ешера. Він відвідує майстерню художника Герта Стігемана, який мав друкарський верстат. На цьому верстаті були надруковані перші гравюри Ешера.

У 1918-1919 роках Ешер відвідує Технічний коледж у голландському містечку Дельфт. Він отримує відстрочку від служби в армії для продовження навчання, але через погане здоров'я Моріц не впорався з навчальним планом, і був відрахований. В результаті він так і не отримав вищої освіти. Він навчається в Школі архітектури та орнаменту в місті Гаарлемі, Там він бере уроки малювання у Самюеля Джесерена де Месквіта, який вплинув на життя і творчість Ешера.

У 1921 році сім'я Ешера відвідала Рів'єру та Італію. Зачарований рослинністю та квітами середземноморського клімату, Моріц зробив детальні малюнки кактусів та оливкових дерев. Він замалював багато ескізів гірських пейзажів, які згодом лягли в основу його робіт. Пізніше він постійно повертатиметься до Італії, яка буде для нього джерелом натхнення.

Ешер починає експериментувати в новому собі напрямі, вже тоді в його роботах зустрічаються дзеркальні відображення, кристалічні фігури і сфери.

Кінець двадцятих років виявилася дуже плідним періодом для Моріца. Його роботи демонструвалися на багатьох виставках Голландії, а до 1929 його популярність досягла такого рівня, що за один рік пройшли п'ять персональних виставок в Голландії та Швейцарії. Саме в цей період картини Ешера вперше були названі механічними та "логічними".

Ешер багато мандрує. Живе в Італії та Швейцарії, Бельгії. Вивчає мавританські мозаїки, робить літографії, гравюри. На основі ескізів подорожей він створює свою першу картину неможливої ​​реальності "Still Life with Street".

Наприкінці тридцятих років Ешер продовжує експерименти з мозаїками та трансформаціями. Він створює мозаїку у вигляді двох птахів, що летять назустріч один одному, що лягло в основу картини "День і ніч".

У травні 1940 року нацисти окупують Голландію та Бельгію, а 17 травня до зони окупації потрапляє і Брюссель, де на той момент проживав Ешер із сім'єю. Вони знаходять будинок у Варні та переїжджають туди у лютому 1941 року. До кінця своїх днів Ешер житиме у цьому місті.

В 1946 Ешер починає цікавитися технологією глибокого друку. І хоча ця технологія була набагато складнішою за ту, якою користувався Ешер до цього і вимагала більше часу для створення картини, але результати були вражаючими - тонкі лінії та точна передача тіней. Одна з найвідоміших робіт у техніці глибокого друку "Крапля роси" була закінчена у 1948 році.

У 1950 році Моріц Ешер набуває популярності як лектор. Тоді ж 1950 року проходить його перша персональна виставка у Сполучених Штатах і починають купуватись його роботи. 27 квітня 1955 року Моріца Ешера посвячують у лицарі і він стає дворянином.

У середині 50-х років Ешер поєднує мозаїку з фігурами, що йдуть у нескінченність.

На початку 60-х років побачила світ перша книга з роботами Ешера «Grafiek en Tekeningen», в якій 76 робіт прокоментував сам автор. Книга допомогла знайти розуміння серед математиків і кристалографів, включаючи деяких з Росії та Канади.

Торішнього серпня 1960 Ешер прочитав лекцію з кристалографії у Кембриджі. Математичні та кристалографічні аспекти творчості Ешера стають дуже популярними.

1970 року після нової серії операцій Ешер переїхав до нового будинку в Ларені, в якому була студія, але погане здоров'я не давало можливості багато працювати.

1971 року Моріц Ешер помер у віці 73 років. Ешер прожив досить довго, щоб побачити книгу "Світ М. К. Ешера", перекладену на англійська моваі залишився нею дуже задоволений.

Різні неможливі картини зустрічаються на сайтах математиків та програмістів. Самої повною версієюіз переглянутих нами, на наш погляд, є сайт Влада Алексєєва

На цьому сайті представлені не тільки широко відомі картини, зокрема і М. Ешера, проте, і анімовані зображення, кумедні малюнки неможливих тварин, монет, марок тощо. Цей сайт живе, він періодично оновлюється та поповнюється дивовижними малюнками.

Неможлива фігура - один з видів оптичних ілюзій, фігура, що на перший погляд здається проекцією звичайного тривимірного об'єкта,

при уважному розгляді якої стає видно суперечливі з'єднання елементів фігури. Створюється ілюзія неможливості існування такої фігури у тривимірному просторі.

♦♦♦
Неможливі фігури

Найбільш відомі неможливі фігури: неможливий трикутник, нескінченні сходи та неможливий тризуб.

Неможливий трикутник Перроуза

Ілюзія Рейтерсварда (Reutersvard, 1934)

Зверніть увагу також і на те, що зміна організації "фігура-фон" уможливила сприйняття розташованої в центрі "зірки".
_________

Неможливий куб Ешера

Насправді, всі неможливі фігури можуть існувати в реальному світі. Так, всі об'єкти, намальовані на папері, є проекціями тривимірних об'єктів, отже, можна створити такий тривимірний об'єкт, який при проектуванні на площину буде неможливим. При погляді на такий об'єкт із певної точки він також виглядатиме неможливим, але при огляді з будь-якої іншої точки ефект неможливості буде втрачатися.

13-метрову скульптуру неможливого трикутника з алюмінію було споруджено в 1999 році в місті Перт (Австралія). Тут неможливий трикутник був зображений у найбільш загальній формі - у вигляді трьох балок, з'єднаних один з одним під прямими кутами.

Чортова вилка
Серед усіх неможливих постатей особливе місце посідає неможливий тризуб («чортова вилка»).

Якщо закрити рукою праву частину тризубця, то ми побачимо цілком реальну картину – три круглі зуби. Якщо закрити нижню частинутризубця, то ми теж побачимо реальну картину - два прямокутні зубці. Але, якщо розглядати всю фігуру цілком, то виходить що три круглі зубці поступово перетворюються на два прямокутні.

Таким чином, можна побачити, що передній та задній плани даного малюнка конфліктують. Тобто, що спочатку на передньому плані йде назад, а задній план (середній зуб) вилазить вперед. Крім зміни переднього і заднього планів у цьому малюнку є ще один ефект - плоскі грані правої частини тризубця стають круглими в лівій.

Ефект неможливості досягається за рахунок того, що наш мозок аналізує контур фігури та намагається підрахувати кількість зубців. Мозок порівнює кількість зубців фігури у лівій та правій частині малюнка, через що виникає відчуття неможливості фігури. Якщо кількість зубців у фігури було значно більше (наприклад, 7 або 8), цей парадокс був би менш яскраво виражений.

Деякі книги стверджують, що неможливий тризуб належить до класу неможливих постатей, які неможливо відтворити у світі. Насправді, це не так. Всі неможливі постаті можна побачити в реальному світі, але неможливими вони будуть виглядати тільки з єдиної точки зору.

______________

Неможливий слон


Скільки ніг у слона?

Психолог із Стенфорда Роджер Шепард (Roger Shepard) використав ідею тризубця для своєї картини неможливого слона.

______________

Сходи Пенроуза(нескінченні сходи, неможливі сходи)

Нескінченні сходи - одна з найвідоміших класичних неможливостей.

Являє собою таку конструкцію сходів, при якій у разі руху по ній в одному напрямку (на малюнку до статті проти годинникової стрілки) людина нескінченно підніматиметься, а під час руху у зворотному — постійно спускатиметься.

Іншими словами, перед нами постають сходи, що ведуть, здавалося б, вгору чи вниз, але при цьому людина, що крокує по ній, не піднімається і не опускається. Завершивши свій візуальний маршрут, він опиниться на початку шляху. Якби вам справді довелося пройти цією драбиною, ви б безцільно піднімалися і спускалися ними нескінченну кількість разів. Можна назвати це нескінченною сизіфовою працею!

З того часу, як Пенроузи опублікували цю фігуру, вона з'являлася в пресі частіше, ніж будь-який інший неможливий об'єкт. "Нескінченні сходи" можна зустріти в книгах про ігри, головоломки, ілюзії, у підручниках з психології та інших предметів.

«Сходження та сходження»

«Нескінченною лісницею» з успіхом скористався художник Мауріц К. Ешер, цього разу у своїй чарівній літографії «Сходження та сходження», створеної в 1960 році.
У цьому малюнку, що відображає всі можливості фігури Пенроуза, нескінченні сходи, що цілком впізнаються, акуратно вписані в дах монастиря. Ченці в капюшонах безперервно рухаються сходами у напрямку за годинниковою стрілкою та проти неї. Вони йдуть назустріч один одному неможливим шляхом. Їм не вдається ні піднятися нагору, ні спуститися вниз.

Відповідно, «Нескінченні сходи» стали частіше асоціюватися з Ешером, який перемалював її, ніж з Пенроузами, які її вигадали.

Скільки тут полиць?

Куди відчинені двері?

Назовні чи всередину?

Неможливі постаті зрідка з'являлися на полотнах майстрів минулого, наприклад, така шибениця на картині Пітера Брейгеля (Старшого)
«Сорока на шибениці» (1568)

__________

Неможлива арка

Жос де Мей (Jos de Mey) – фламандський художник, навчався у Королівській Академії Витончених Мистецтву Генті (Бельгія), а потім навчав студентів дизайну інтер'єрів та кольору протягом 39 років. Починаючи з 1968 року, центром його уваги стало малювання. Він найбільш відомий ретельним та реалістичним виконанням неможливих структур.

Найбільш відомі неможливі постаті у роботах художника Моріса Ешера. При розгляді таких малюнків кожна окрема деталь здається цілком правдоподібною, проте при спробі простежити лінію виявляється, що ця лінія вже, наприклад, не зовнішній кут стіни, а внутрішній.

«Відносність»

Ця літографія голландського художника Ешера вперше була надрукована у 1953 році.

На літографії зображено парадоксальний світ, у якому застосовуються закони реальності. В одному світі об'єднані три реальності, три сили тяжіння спрямовані перпендикулярно одна до одної.

Створено архітектурну структуру, реальності об'єднані сходами. Для людей, які живуть у цьому світі, але в різних площинах реальності, самі сходи будуть спрямовані або вгору або вниз.

«Водоспад»

Ця літографія голландського художника Ешера вперше була надрукована у жовтні 1961 року.

У цій роботі Ешера зображено парадокс — вода водоспаду, що падає, керує колесом, яке направляє воду на вершину водоспаду. Водоспад має структуру "неможливого" трикутника Пенроуза: літографія була створена за мотивами статті у "Британському журналі психології".

Конструкція складена з трьох перекладин, покладених один на одного під прямим кутом. Водоспад на літографії працює як вічний двигун. Здається також, що обидві башти однакові; насправді та, що праворуч, на поверх нижче від лівої вежі.

Ну і сучасніші роботи:о)
Нескінченна фотографія

Дивовижне будівництво

Шахівниця

♦♦♦
Перевернуті картинки

Що ви бачите: величезну ворону зі здобиччю чи рибалки у човні, рибу та острів із деревами?

Распутін та Сталін

Молодість та старість

_________________

Вельможа та Корольова

Неможливе все-таки можливе. І яскраве підтвердження цього – неможливий трикутник Пенроуза. Відкритий ще в минулому столітті він дотепер часто зустрічається в науковій літературі. І хоч як це дивно не звучало, але його можна виготовити навіть самостійно. І зробити це дуже просто. Багато любителів малювати чи збирати орігамі вже давно змогли це зробити.

Значення трикутника Пенроуза

Існує кілька назв цієї фігури. Одні називають її неможливим трикутником, інші просто трибаром. Але найчастіше можна зустріти визначення саме «трикутник Пенроуза».

Розуміють під цими визначеннями одну з основних неможливих фігур. Якщо судити за назвою, то отримати подібну фігуру насправді неможливо. Але на практиці було доведено, що зробити це можна. Ось тільки форму прийматиме, якщо дивитися на неї з певної точки під потрібним кутом. З решти сторін фігура цілком реальна. Вона є три ребра куба. І зробити таку конструкцію просто.

Історія відкриття

Трикутник Пенроуза було відкрито далекого 1934 року художником зі Швеції Оскаром Реутерсвардом. Фігура була представлена ​​у вигляді зібраних кубиків. Надалі художника почали називати «батьком неможливих постатей».

Можливо, малюнок Реутерсварда так і залишився маловідомим. Але в 1954 році шведський математик Роджер Пенроуз написав статтю про неможливих фігурах. Це стало другим народженням трикутника. Щоправда, вчений представив його у більш звичному вигляді. Він використав не кубики, а балки. Три балки з'єднувалися між собою під кутом 90 градусів. Відмінність також була в тому, що Реутерсвард використав паралельну перспективу під час малювання. А Пенроуз застосував перспективу лінійного характеру, що надало малюнку ще більшої неможливості. Такий трикутник було опубліковано 1958 року в одному з британських журналів про психологію.

В 1961 художник Мауріц Ешер (Голландія) створив одну зі своїх найбільш популярних літографій «Водоспад». Створено її було під враженням, яке було викликано статтею про неможливі постаті.

У вісімдесятих роках минулого століття трибар та інші неможливі постаті зображалися на державних поштових маркахШвеція. Тривало це протягом кількох років.

Наприкінці минулого століття (а точніше у 1999 році) в Австралії було створено скульптуру з алюмінію, що зображувала неможливий трикутник Пенроуза. Вона сягала заввишки 13 метрів. Подібні скульптури, менші за розмірами, зустрічаються і в інших країнах.

Неможливе насправді

Як можна вже здогадатися, трикутник Пенроуза насправді не є трикутником у звичайному розумінні. Він є три грані куба. Але якщо дивитися з певного кута, виходить ілюзія трикутника за рахунок того, що на площині повністю збігаються 2 кути. Зорово поєднується ближній від дивлячого і дальній кути.

Якщо бути уважним, то можна здогадатися, що трибар є не чим іншим, як ілюзією. Реальний вигляд фігури може видати тінь від неї. Нею видно, що насправді кути не з'єднуються. Ну і, звичайно, все стає зрозуміло, якщо фігуру взяти в руки.

Виготовлення фігури своїми руками

Трикутник Пенроуза можна зібрати самостійно. Наприклад, з паперу чи картону. І допоможуть у цьому схеми. Їх потрібно лише роздрукувати і склеїти. В Інтернеті представлено дві схеми. Одна з них трохи легша, інша - складніша, але популярніша. Обидві представлені малюнки.

Трикутник Пенроуза стане цікавим виробом, який обов'язково сподобається гостям. Він точно не залишиться непоміченим. Першим етапом щодо його створення є підготовка схеми. Вона переноситься на папір (картон) за допомогою принтера. А далі все ще простіше. Її потрібно просто вирізати на периметрі. На схемі є всі необхідні лінії. Зручніше працюватиме з більш щільним папером. Якщо схема роздрукована на тонкому папері, а хочеться щось щільніше, заготовка просто прикладається на вибраний матеріал і вирізається по контуру. Щоб схема не зрушувалась, її можна прикріпити скріпками.

Далі потрібно визначити ті лінії, якими заготівля буде згинатися. Як правило, на схемі вона представлена ​​згинаємо деталь. Далі визначаємо місця, що підлягають склеюванню. Вони промазуються клеєм ПВА. Деталь поєднується в єдину фігуру.

Деталь можна розфарбувати. А можна спочатку використати кольоровий картон.

Малюємо неможливу фігуру

Трикутник Пенроуза також можна намалювати. Спочатку на аркуші малюється простий квадрат. Розмір його немає значення. З основою на нижню сторону квадрата малюється трикутник. У його кутах усередині малюються невеликі прямокутники. Їхні сторони потрібно буде стерти, залишивши лише ті, що є спільними з трикутником. В результаті повинен вийти трикутник із усіченими кутами.

З лівої частини нижнього верхнього кута проводиться пряма лінія. Така сама лінія, але трохи коротша, малюється з лівого нижнього кута. Паралельно основи трикутника проводиться лінія, що виходить із правого кута. Виходить другий вимір.

За принципом другого малюється третій вимір. Тільки у разі всі прямі грунтуються на кути фігури першого, а другого виміру.

керівник

учитель математики

1.Введение ………………………………………………….……3

2. Історична довідка………………………………………..…4

3. Основна частина………………………………………………….7

4. Доказ неможливості трикутника Пенроузов……9

5. Висновки………………………………………………..…………11

6. Літерарура……………………………………………….…… 12

Актуальність:Математика – предмет, що вивчається з першого до випускного класу. Багато учнів вважають його складним, нецікавим та непотрібним. Але якщо заглянути за сторінки підручника, почитати додаткову літературу, математичні софізми та парадокси, то зміниться уявлення про математику, з'явиться бажання вивчати більше, ніж вивчається у шкільному курсі математики.

Мета роботи:

показати, що існування неможливих постатей розширять кругозір, розвиває просторову уяву, застосовується як математиками, а й художниками.

Завдання :

1. Вивчити літературу на цю тему.

2. Розглянути неможливі фігури, зробити модель неможливого трикутника, довести, що неможливий трикутник немає площині.

3. Зробити розгорнення неможливого трикутника.

4. Розглянути приклади використання неможливого трикутника у образотворчому мистецтві.

Вступ

Історично, математика відігравала важливу роль в образотворчому мистецтві, зокрема при зображенні перспективи. реалістичне зображеннятривимірної сцени на плоскому полотні або аркуші паперу. Відповідно до сучасних поглядів, математика та Образотворче мистецтводуже віддалені один від одного дисципліни, перша – аналітична, друга – емоційна. Математика не відіграє очевидної ролі у більшості робіт сучасного мистецтва, і, фактично, багато художників рідко чи взагалі ніколи не використовують навіть використання перспективи. Однак, є багато художників, які математика знаходиться в центрі уваги. Декілька значних постатей в образотворчому мистецтві проклали дорогу цим індивідуумам.

Взагалі не існує жодних правил або обмежень на використання різних тем в математичному мистецтві, таких як, неможливі фігури, стрічка Мебіуса, спотворення або незвичайні системи перспективи, а також фрактали.

Історія неможливих фігур

Неможливі постаті - певний вид математичних парадоксів, які з регулярних деталей, поєднаних у нерегулярному комплексі. Якби спробувати сформулювати визначення терміна "неможливі об'єкти" він би, напевно, звучав приблизно так - фізично можливі фігури, зібрані у неможливому вигляді. Але дивитися на них набагато приємніше, складання визначень.

Помилки просторової побудови зустрічалися у художників і тисячу років тому. Але першим, хто побудував і проаналізував неможливі об'єкти по праву, вважається шведський художник Оскар Рейтерсверд, який намалював у 1934р. перший неможливий трикутник, що складався із дев'яти кубиків.

Трикутник Рейтерсверда

Незалежно від Рейтерсверда англійський математик і фізик Роджер Пенроуз знову відкриває неможливий трикутник і публікує його зображення в британському журналі з психології в 1958р. В ілюзії використано «хибну перспективу». Іноді таку перспективу називають китайською, оскільки подібний спосіб малювання, коли глибина малюнка «двозначна» часто зустрічався в роботах китайських художників.

Водоспад Ешера

У 1961р. голландець М. Ешер, натхненний неможливим трикутником Пенроуза, створює відому літографію «Водоспад». Вода на картині тече нескінченно, після водяного колеса вона проходить далі і потрапляє у вихідну точку. По суті це зображення вічного двигуна, але будь-яка спроба в реальності побудувати цю конструкцію приречена на невдачу.

Ще один приклад неможливих постатей представлений малюнку «Москва», у якому зображено не зовсім нормальна схема московського метрополітену. Спочатку ми сприймаємо зображення цілком, але простежуючи поглядом окремі лінії, переконуємось у неможливості їхнього існування.

« Москва», графіка (туш, олівець), 50х70 см, 2003

Малюнок «Три равлики» продовжує традиції другої знаменитої неможливої ​​фігури – неможливого куба (скриньки).

«Три равлики» Неможливий куб

Поєднання різних об'єктів можна знайти і в не зовсім серйозному малюнку "IQ" (коефіцієнт інтелекту). Цікаво, що деякі люди не сприймають неможливі об'єкти через те, що їхня свідомість не здатна ототожнювати плоскі картини з тривимірними об'єктами.

Дональд Сіманек висловив думку, що розуміння візуальних парадоксів є однією з ознак того виду творчого потенціалу, яким володіють кращі математики, вчені та художники. Багато робіт з парадоксальними об'єктами можна віднести до «інтелектуальних математичних ігор». Сучасна наукаговорить про 7-мірну або 26-мірну модель світу. Моделювати подібний світ можна лише за допомогою математичних формул, людина уявити його просто не в змозі. І тут виявляються корисними неможливі постаті.

Третьою популярною неможливою фігурою є неймовірні сходи, створені Пенроузом. Ви будете безперервно або підніматись (проти годинникової стрілки) або спускатися (за годинниковою стрілкою). Модель Пенроуза лягла в основу знаменитої картиниМ. Ешера «Вгору і вниз» Неймовірні сходи Пенроуза

Неможливий тризуб

«Чортова вилка»

Існує ще одна група об'єктів, реалізувати які не вдасться. Класичною фігурою є неможливий тризуб, або «чортова вилка». При уважному вивченні картинки можна помітити, що три зубці поступово переходять у два на єдиній підставі, що призводить до конфлікту. Ми порівнюємо кількість зубців зверху та знизу і приходимо до висновку про неможливість об'єкта. Якщо закрити рукою верхню частину тризубця, то ми побачимо цілком реальну картину – три круглі зуби. Якщо закрити нижню частину тризубця, то ми теж побачимо реальну картину - два прямокутні зубці. Але, якщо розглядати всю фігуру цілком, то виходить що три круглі зубці поступово перетворюються на два прямокутні.

Таким чином, можна побачити, що передній та задній плани даного малюнка конфліктують. Тобто те, що спочатку на передньому плані йде назад, а задній план (середній зуб) вилазить вперед. Крім зміни переднього і заднього планів у цьому малюнку є ще один ефект – плоскі грані верхньої частини тризубця стають круглими в нижній частині.

Основна частина.

Трикутник– фігура, що складається з 3-х сусідніх елементів, яка з допомогою неприйнятних сполук цих елементів створює ілюзію з математичної погляду неможливої ​​структури. Інакше ще цей трибалочник називають косинцем Пенроузов

Графічний принцип, що ховається за цією ілюзією, завдячує своїм формулюванням психологу та його сину Роджеру, фізику. Кутник Пенрузов складається з 3-х брусків квадратного перерізу, розташованих у 3-х взаємно-перпендикулярних напрямках; кожен з'єднується з наступним під прямим кутом, все це міститься в тривимірному просторі. Ось простий рецепт, як намалювати цю ізометричну проекцію косинця Пенрузов:

· Обріжте кути у рівностороннього трикутника по лініях, паралельним сторонам;

· Проведіть усередині обрізаного трикутника паралелі до сторін;

· Ще раз обріжте кути;

· Ще раз проведіть усередині паралелі;

· Уявіть собі в одному з кутів якийсь із двох можливих кубів;

· Продовжіть його L – образною “штукою”;

· Проженіть цю конструкцію по колу.

· Якби ми вибрали інший куб, то косинець був би "закручений" в інший бік .

Розгортання неможливого трикутника.

Лінія перегину

Лінія розрізу

З яких елементів будується неможливий трикутник? Точніше, з яких елементів він здається нам (саме здається!) збудованим? В основі конструкції лежить прямокутний куточок, що виходить з'єднанням під прямим кутом двох однакових прямокутних брусків. Таких куточків потрібно три штуки, а брусків шість штук. Ці куточки треба певним чином візуально «з'єднати» один з одним так, щоб вони утворили замкнутий ланцюг. Те, що вийде, є неможливий трикутник.

Перший куточок помістимо у горизонтальній площині. До нього приєднаємо другий куточок, направивши одне з його ребер нагору. Нарешті, до цього другого куточка додамо третій куточок так, щоб його ребро було паралельно вихідній горизонтальній площині. При цьому два ребра першого та третього куточків будуть паралельні та направлені в різні боки.

А тепер спробуємо мильно подивитися на фігуру з різних точок простору (або зробіть реальний макет із дроту). Уявіть, як вона виглядає з однієї точки, з іншої, з третьої ... При зміні точки спостереження (або - що те саме - при повороті конструкції в просторі) здаватиметься, що два "кінцевих" ребра наших куточків переміщуються відносно один одного. Неважко підібрати таке становище, при якому вони з'єднаються (звичайно, при цьому ближній куточок здаватиметься нам товстішим, ніж довший).

Але якщо відстань між ребрами набагато менша за відстань від куточків до точки, з якої ми розглядаємо нашу конструкцію, то обидва ребра матимуть для нас однакову товщину, і виникне уявлення про те, що ці два ребра – насправді продовження один одного.

До речі, якщо ми одночасно подивимося на відображення конструкції в дзеркалі, то замкнутого ланцюга не побачимо.

А з обраної точки спостереження ми на власні очі бачимо чудо, що відбулося: є замкнутий ланцюг з трьох куточків. Тільки не змінюйте точку спостереження, щоб ця ілюзія (насправді саме ілюзія!) не зруйнувалася. Тепер можна намалювати видимий об'єкт або помістити в знайдену точку об'єктив фотоапарата і отримати фотографію неможливого об'єкта.

Першим цим явищем зацікавилися Пенроузи. Вони використовували можливості, які виникають при відображенні тривимірного простору та тривимірних об'єктів на двовимірну площину (тобто при проектуванні) та звернули увагу на деяку невизначеність проектування – незамкнута конструкція із трьох куточків може сприйматися як замкнутий ланцюг.

Як уже говорилося, з дроту можна легко виготовити найпростішу модель, що в принципі пояснює ефект, що спостерігається. Візьміть прямолінійний шматок дроту і розділіть його на три рівні частини. Потім зігніть крайні частини так, щоб вони утворили прямий кут із середньою частиною, і поверніть один щодо одного на 900 . Тепер повертайте цю фігурку та спостерігайте за нею одним оком. При деякому її становищі здаватиметься, що вона утворена із замкнутого шматка дроту. Увімкнувши настільну лампу, можна поспостерігати за тінню, що падає на стіл, яка також при певному розташуванні фігури у просторі перетворюється на трикутник.

Втім, цю особливість проектування можна спостерігати й іншій ситуації. Якщо зробити кільце з дроту, а потім розвести його в різні боки, то вийде один виток циліндричної спіралі. Цей виток, зрозуміло, розімкнуто. Але при проектуванні його на площину можна одержати замкнуту лінію.

Ми ще раз переконалися, що за проекцією на площину, на малюнку тривимірна фігура відновлюється неоднозначно. Тобто в проекції міститься деяка двозначність, недомовленість, які й породжують «неможливий трикутник».

І можна сказати, що "неможливий трикутник" Пенроузов, як багато інших оптичні ілюзіїстоїть в одному ряду з логічними парадоксами та каламбурами.

Доказ неможливості трикутника Пенроуз

Аналізуючи особливості двовимірного зображення тривимірних об'єктів на площині, ми зрозуміли, як особливості цього відображення призводять до неможливого трикутника.

Довести, що неможливий трикутник не існує, вкрай легко, адже кожен його кут прямий, а їхня сума дорівнює 2700 замість «положених» 1800.

Більше того, навіть якщо ми розглядатимемо неможливий трикутник, склеєний з куточків, менших 900, то й у цьому випадку можна довести, що неможливий трикутник не існує.

Розглянемо ще один трикутник, що складається з кількох частин. Якщо частини, з якого він складається, розташувати інакше, то вийде такий самий трикутник, але з одним маленьким недоліком. Не вистачатиме одного квадрата. Як таке можливо? Або таки це ілюзія.

https://pandia.ru/text/80/021/images/image016_2.jpg" alt="(!LANG:Неможливий трикутник" width="298" height="161">!}

Використання феномена сприйняття

Чи можна якось посилити ефект неможливості? "Неможливі" чи одні об'єкти, ніж інші? І тут на допомогу приходять особливості людського сприйняття. Психологами встановлено, що око починає огляд об'єкта (картини) з нижнього лівого кута, потім погляд ковзає праворуч до центру і опускається в правий нижній кут картини. Така траєкторія, можливо, пов'язана з тим, що наші предки при зустрічі з супротивником спочатку дивилися на найнебезпечнішу праву руку, а потім погляд переміщався вліво, на обличчя та фігуру. Таким чином, художнє сприйняттяістотно залежатиме від того, як будується композиція картини. Ця особливість у Середньовіччі яскраво виявилася під час виготовлення гобеленів: їх малюнок був дзеркальним відображенням оригіналу, і враження, яке справляють гобелени та оригінали, відрізняється.

Ця властивість можна з успіхом використовувати при створенні творів з неможливими об'єктами, збільшуючи або зменшуючи "ступінь неможливості". Відкривається також перспектива отримувати цікаві композиціїз використанням комп'ютерних технологій або з кількох картин, повернутих (можливо, з використанням різного виду симетрій) одна щодо іншої, що створюють у глядачів різне враження від об'єкта і глибше розуміння сутності задуму, або з однієї, що повертається (постійно або ривками) за допомогою нехитрого механізму деякі кути.

Такий напрямок можна назвати полігональним (багатокутним). На ілюстраціях представлені зображення, повернуті одне щодо іншого. Композиція створювалася наступним чином: малюнок на папері, виконаний тушшю та олівцем, сканувався, переводився в цифрову форму та оброблявся в графічному редакторі. Можна відзначити закономірність - повернена картинка має більшу "ступінь неможливості", ніж вихідна. Це легко можна пояснити: художник у процесі роботи підсвідомо прагне створити "правильне" зображення.

Висновок

Використання різних математичних постатей і законів не обмежується лише наведеними вище прикладами. Уважно вивчаючи всі наведені постаті, можна знайти й інші, не згадані у цій статті, геометричні тіла чи візуальну інтерпретацію математичних законів.

Математичні образотворче мистецтво процвітає сьогодні, і багато художників створюють картини в стилі Ешера та у своєму власному стилі. Ці художники працюють у різних напрямках, включаючи скульптуру, малювання на плоских та тривимірних поверхнях, літографію та комп'ютерну графіку. А найпопулярнішими темами математичного мистецтва залишаються багатогранники, неможливі фігури, стрічки Мебіуса, спотворені системи перспективи та фрактали.

Висновки:

1. Отже, розгляд неможливих постатей розвиває нашу просторову уяву, допомагає «вийти» з площини в тривимірний простір, що допоможе при вивченні стереометрії.

2. Моделі неможливих фігур допомагають розглядати проекції на площині.

3. Розгляд математичних софізмів та парадоксів прищеплюють інтерес до математики.

За виконання даної роботи

1. Я дізнався - як, коли, де і ким було вперше розглянуто неможливі постаті, що таких постатей багато, ці постаті постійно намагаються зображати художники.

2. Я, разом із татом зробив модель неможливого трикутника, розглянув її проекції на площину, побачив парадокс цієї постаті.

3. Розглянув репродукції художників, у яких зображені дані постаті

4. Мої дослідження зацікавили однокласників.

Надалі отримані знання я використовуватиму на уроках математики і мене зацікавили, а чи існують інші парадокси?

ЛІТЕРАТУРА

1. Кандидат технічних наук Д. РАКОВ Історія неможливих фігур

2. Неможливі постаті.- М.: Будвидав, 1990.

3. Алексєєва Ілюзії · 7 Comments

4. Дж. Тімоті Анрах. - Дивовижні постаті.
(ТОВ "Видавництво АСТ", ТОВ "Видавництво Астрель", 2002, 168 с.)

5. . - Графіка.
(Арт-Джерело, 2001)

6. Даглас Хофштадтер. - Гедель, Ешер, Бах: ця нескінченна гірлянда. (Видавничий дім "Бахрах-М", 2001)

7. А. Коненко – Таємниці неможливих фігур
(Омськ:Лівша, 199)

Відома також під назвами неможливий трикутникі трибар.

Історія

Широку популярність ця фігура набула після опублікування статті про неможливі постаті в Британському журналі психології англійським математиком Роджером Пенроузом у 1958 році. У цій статті неможливий трикутник був зображений у найбільш спільній формі - у вигляді трьох балок, з'єднаних один з одним під прямими кутами. Під впливом цієї статті голландський художник Мауріц Ешер створив одну зі своїх знаменитих літографій «Водоспад».

Скульптури

13-метрову скульптуру неможливого трикутника з алюмінію було споруджено в 1999 році в місті Перт (Австралія).

Deutsches Technikmuseum Berlin February 2008 0004.JPG

Та ж скульптура при зміні точки перегляду

Інші фігури

Хоча цілком можливо побудова аналогів трикутника Пенроуза на основі правильних багатокутників, візуальний ефект від них менш вражаючий. При збільшенні кількості сторін об'єкт здається просто викривленим чи скрученим.

Див. також

• Три зайці (англ. Three hares )

Напишіть відгук про статтю "Трикутник Пенроуза"

Уривок, що характеризує трикутник Пенроуза

Висловивши все, що йому було наказано, Балашев сказав, що імператор Олександр бажає миру, але не приступить до переговорів інакше, як із тією умовою, щоб… Тут Балашев зам'явся: він згадав ті слова, які імператор Олександр не написав у листі, але які неодмінно наказав вставити в рескрипт Салтикову і наказав Балашеву передати Наполеону. Балашев пам'ятав про ці слова: «поки що жоден озброєний ворог не залишиться землі російської», але якесь складне почуття втримало його. Він не міг сказати цих слів, хоч і хотів це зробити. Він зам'явся і сказав: за умови, щоб французькі війська відступили за Ньоман.
Наполеон помітив збентеження Балашева під час висловлювання останніх слів; обличчя його здригнулося, ліва ікра ноги почала мірно тремтіти. Не сходячи з місця, він голосом, вищим і поспішним, ніж раніше, почав говорити. Під час наступної промови Балашев, неодноразово опускаючи очі, мимоволі спостерігав тремтіння ікри в лівій нозі Наполеона, яке тим більше посилювалося, чим більше він підносив голос.
- Я бажаю миру не менше імператора Олександра, - почав він. – Чи не я вісімнадцять місяців роблю все, щоби отримати його? Я вісімнадцять місяців чекаю пояснень. Але для того, щоб розпочати переговори, чого вимагають від мене? - Сказав він, насупившись і роблячи енергійно запитальний жест своєю маленькою білою і пухкою рукою.
- Відступ військ за Німан, пане, - сказав Балашев.
– За Нєман? – повторив Наполеон. – То тепер ви хочете, щоб відступили за Нєман – тільки за Ньоман? - повторив Наполеон, глянувши на Балашева.
Балашев шанобливо нахилив голову.
Замість вимоги чотири місяці тому відступити з номера, тепер вимагали відступити тільки за Нєман. Наполеон швидко обернувся і почав ходити по кімнаті.
– Ви кажете, що від мене вимагають відступу за Німан для започаткування переговорів; але від мене вимагали так само два місяці тому відступи за Одер та Віслу, і, незважаючи на те, ви згодні вести переговори.
Він мовчки пройшов від одного кута кімнати до іншого і знову зупинився проти Балашева. Обличчя його ніби закам'яніло у своєму суворому виразі, і ліва нога тремтіла ще швидше, ніж раніше. Це тремтіння лівої ікри Наполеон знав за собою. La тремтіння моєї лівої ікри є великою ознакою, – говорив він згодом.