Як зробити трикутник Пенроуза з паперу схема. Що таке неможливий трикутник

Відома також під назвами неможливий трикутник і трібар.

Історія

Широку популярність ця фігура набула після опублікування статті про неможливі фігури в Британському журналі психології англійським математиком Роджером Пенроуз в 1958 році. У цій статті неможливий трикутник був зображений в найбільш загальній формі - у вигляді трьох балок, з'єднаних один з одним під прямими кутами. Під впливом цієї статті в голландський художник Мауріц Ешер створив одну зі своїх знаменитих літографій «Водоспад».

скульптури

13-метрова скульптура неможливого трикутника з алюмінію була споруджена в 1999 році в місті Перт (Австралія)

Deutsches Technikmuseum Berlin February 2008 0004.JPG

Та ж скульптура при зміні точки перегляду

інші фігури

Хоча цілком можливо побудова аналогів трикутника Пенроуза на основі правильних багатокутників, візуальний ефект від них не настільки вражаючий. При збільшенні кількості сторін об'єкт здається просто викривленим або скрученим.

Див. також

• Три зайця (англ. Three hares )

Напишіть відгук про статтю "Трикутник Пенроуза"

Уривок, що характеризує Трикутник Пенроуза

Висловивши все, що йому було наказано, Балашев сказав, що імператор Олександр бажає миру, але не приступить до переговорів інакше, як з тією умовою, щоб ... Тут Балашев зам'явся: він згадав ті слова, які імператор Олександр не написав в листі, але які неодмінно наказав вставити в рескрипт Салтикова і які наказав Балашеву передати Наполеону. Балашев пам'ятав про ці слова: «поки жоден збройний ворог не залишиться на землі російської», але яке то складне почуття утримало його. Він не міг сказати цих слів, хоча і хотів це зробити. Він зам'явся і сказав: з умовою, щоб французькі війська відступили за Німан.
Наполеон помітив збентеження Балашева при висловлюванні останніх слів; особа його здригнулося, ліва ікра ноги початку розмірено тремтіти. Чи не сходячи з місця, він голосом, більш високим і поспішним, ніж раніше, почав говорити. Під час подальшої мови Балашев, не раз опускаючи очі, мимоволі спостерігав тремтіння ікри в лівій нозі Наполеона, яке тим більше посилювалося, що більше він підіймав голос.
- Я бажаю миру не менше імператора Олександра, - почав він. - Чи не я вісімнадцять місяців роблю все, щоб отримати його? Я вісімнадцять місяців чекаю пояснень. Але для того, щоб почати переговори, чого ж вимагають від мене? - сказав він, насупившись і роблячи енергійно запитальний жест своєї маленької білої і пухкої рукою.
- Жодних відступів військ за Німан, государ, - сказав Балашов.
- За Німан? - повторив Наполеон. - Так тепер ви хочете, щоб відступили за Німан - тільки за Німан? - повторив Наполеон, прямо глянувши на Балашева.
Балашев шанобливо нахилив голову.
Замість вимоги чотири місяці тому відступити з Номераніі, тепер вимагали відступити тільки за Німан. Наполеон швидко повернувся і став ходити по кімнаті.
- Ви говорите, що від мене вимагають відступу за Німан для розпочата переговорів; але від мене вимагали точно так же два місяці тому відступу за Одер і Віслу, і, не дивлячись на те, ви згодні вести переговори.
Він мовчки пройшов від одного кута кімнати до іншого і знову зупинився проти Балашева. Особа його як ніби закам'яніло в своєму строгому виразі, і ліва нога тремтіла ще швидше, ніж раніше. Це тремтіння лівої ікри Наполеон знав за собою. La vibration de mon mollet gauche est un grand signe chez moi, [Тремтіння моєї лівої ікри є великий ознака,] - говорив він згодом.

Неможливий трикутник - один з дивних математичних парадоксів. При першому погляді на нього ні на секунду не можеш засумніватися в його реальне існування. Однак це тільки ілюзія, обман. А саму можливість такої ілюзії пояснить нам математика!

відкриття Пенроуз

У 1958 році Британський психологічний журнал опублікував статтю Л. Пенроуза і Р. Пенроуза, в якій вони ввели в розгляд новий тип оптичної ілюзії, названої ними «неможливий трикутник».

Візуально неможливий трикутник сприймається як реально існуюча в тривимірному просторі конструкція, складена з прямокутних брусків. Але це всього лише оптична ілюзія. Побудувати реальну модель неможливого трикутника можна.

Стаття Пенроуз містила кілька варіантів зображення неможливого трикутника. - його «класичне» уявлення.

З яких елементів будується неможливий трикутник?

Точніше, з яких елементів він здається нам побудованим? В основі конструкції лежить прямокутний куточок, який виходить з'єднанням під прямим кутом двох однакових прямокутних брусків. Таких куточків потрібно три штуки, а брусків, стало бути, шість штук. Ці куточки треба певним чином візуально «з'єднати» один з іншим так, щоб вони утворили замкнуту ланцюг. Те, що вийде, і є неможливий трикутник.

Перший куточок помістимо в горизонтальній площині. До нього приєднаємо другий куточок, направивши одне з його ребер вгору. Нарешті, до цього другого куточку влаштуємо третій куточок так, щоб його ребро було паралельно вихідної горизонтальній площині. При цьому два ребра першого і третього куточків будуть паралельні і спрямовані в різні боки.

Якщо вважати брусок відрізком одиничної довжини, то кінці брусків першого куточка мають координати, і, другого куточка -, і, третього -, і. Ми отримали реально існуючу в тривимірному просторі «закручену» конструкцію.

А тепер спробуємо подумки подивитися на неї з різних точок простору. Уявіть, як вона виглядає з однієї точки, з іншого, з третьої. При зміні точки спостереження буде здаватися, що два «кінцевих» ребра наших куточків переміщаються відносно один одного. Не важко підібрати такий стан, при якому вони з'єднаються.

Але якщо відстань між ребрами набагато менше відстані від куточків до точки, з якої ми розглядаємо нашу конструкцію, то обидва ребра матимуть для нас однакову товщину, і виникне уявлення про те, що ці два ребра - насправді продовження один одного. Така ситуація зображена 4.

До речі, якщо ми одночасно подивимося на відображення конструкції в дзеркалі, то там замкненого кола не побачимо.

А з обраної точки спостереження ми на власні очі бачимо доконане диво: є замкнута ланцюг з трьох куточків. Тільки не міняйте точку спостереження, щоб ця ілюзія не зруйнує. Тепер можна намалювати видимий вам об'єкт або помістити в знайдену точку об'єктив фотоапарата і отримати фотографію неможливого об'єкта.

Першими цим явищем зацікавилися Пенроузи. Вони використовували можливості, які виникають при відображенні тривимірного простору і тривимірних об'єктів на двовимірну площину і звернули увагу на деяку невизначеність проектування - незамкнута конструкція з трьох куточків може сприйматися як замкнута ланцюг.

Доказ неможливості трикутника Пенроуза

Аналізуючи особливості двовимірного зображення тривимірних об'єктів на площині, ми зрозуміли, як особливості цього відображення призводять до неможливого трикутника. Можливо, когось зацікавить і чисто математичне доказ.

Довести, що неможливий трикутник не існує, вкрай легко, адже кожен його кут прямий, а їх сума дорівнює 270 градусів замість «покладених» 180 градусів.

Більш того, навіть якщо ми будемо розглядати неможливий трикутник, склеєний з куточків, менших 90 градусів, то в цьому випадку можна довести, що неможливий трикутник не існує.

Ми бачимо три плоскі грані. Вони попарно перетинаються уздовж прямих. Площині, що містять ці межі, попарно ортогональні, тому вони перетинаються в одній точці.

Крім того, через цю точку повинні проходити лінії взаємного перетину площин. Отже, прямі лінії 1, 2, 3 повинні перетинатися в одній точці.

Але це не так. Отже, представлена \u200b\u200bконструкція неможлива.

«Неможливе» мистецтво

Доля тієї чи іншої ідеї - наукової, технічної, політичної - залежить від дуже багатьох обставин. І далеко не в останню чергу від того, в якій саме формі ця ідея буде представлена, в якому образі вона з'явиться широкій публіці. Чи буде втілення сухим і складним для сприйняття, або, навпаки - явище ідеї буде яскравим, захоплюючим нашу увагу навіть всупереч нашій волі.

У неможливого трикутника доля щаслива. У 1961 р голландський художник Моріц Ешер завершив літографію, названу їм «Водоспад». Художник пройшов чималий, але швидкий шлях від самої ідеї неможливого трикутника до її приголомшливого художнього втілення. Нагадаємо, стаття Пенроуз з'явилася в 1958 році.

В основі «Водограю» - два неможливих трикутника, показаних. Один трикутник - великий, всередині нього розташований інший трикутник. Може здатися, що зображені три однакових неможливих трикутника. Але не в цьому суть, представлена \u200b\u200bконструкція досить складна.

При побіжному погляді її абсурдність не всякому і не відразу буде видно, так як кожне з'єднання, представлене, - можливо. як кажуть, локально, тобто на невеликій ділянці креслення, така конструкція здійсненна ... Але в цілому вона неможлива! Її окремі шматки не стикуються, не узгоджуються один з одним.

А щоб зрозуміти це, ми повинні затратити певні інтелектуальні і зорові зусилля.

Давайте зробимо подорож по гранях конструкції. Цей шлях чудовий тим, що уздовж нього, як нам здається, рівень відносно горизонтальної площини залишається незмінним. Рухаючись уздовж цього шляху, ми ні вгору не піднімаємося, ні вниз не опускаємося.

І все-то було б добре, звично, якби в кінці шляху - а саме в точці - ми не виявили б, що відносно початкової, початкової точки ми якимось таємничим немислимим чином піднялися вгору по вертикалі!

Щоб прийти до цього парадоксального результату, ми повинні вибрати саме цей шлях, та ще стежити за рівнем відносно горизонтальної площини ... Непроста задача. В її рішенні Ешер на допомогу прийшла ... вода. Згадаймо пісню про рух з чудесного вокального циклу Франца Шуберта «Прекрасна мельничиха»:

І спочатку в уяві, а потім під рукою чудового майстра голі і сухі конструкції перетворюються в акведуки, по яких біжать чисті і швидкі потоки води. Їх рух захоплює наш погляд, і ось вже поза нашою волею ми прагнемо за течією, дотримуючись всіх поворотів і вигинів шляху, разом з потоком зриваємось вниз, падаємо на лопаті водяного млина, потім знову спрямовується вниз за течією ...

Обходимо цей шлях раз, другий, третій ... і тільки тут усвідомлюємо: рухаючись в н і з, ми якимось фантастичним чином підіймаємося в в е р х! Первісне здивування переростає в якийсь інтелектуальний дискомфорт. Здається, що ми стали жертвою якогось розіграшу, об'єктом якоїсь жарти, яку поки що не зрозуміли.

І знову ми повторюємо цей шлях за дивним водоводу, тепер уже не поспішаючи, з обережністю, немов побоюючись підступу з боку парадоксальною картинки, критично сприймаючи все те, що відбувається на цьому таємничому шляху.

Ми намагаємося розгадати ту таємницю, яка вразила нас, і не можемо вирватися з її полону до тих пір, поки не знайдемо приховану пружину, що лежить в її основі і приводить немислиму круговерть в невпинний рух.

Художник спеціально підкреслюють, нав'язує нам сприйняття його картини як зображення реальних тривимірних об'єктів. Об'ємність підкреслюється зображенням цілком реальних багатогранників на вежах, цегляною кладкою з акуратно поданням кожної цеглини в стінах акведука, що піднімаються вгору терасами з садами на задньому плані. Все покликане переконати глядача в реальності того, що відбувається. І завдяки мистецтву і чудовою техніці ця мета досягнута.

Коли ж ми виривається з полону, в який потрапляє наше свідомість, починаємо порівнювати, зіставляти, аналізувати, то знаходимо що основа, джерело цієї картини приховані в особливостях проектування.

І ми отримали ще одне - «фізичне» доказ неможливості «неможливого трикутника»: якби такий трикутник існував, то існував би і «Водоспад» Ешера, який є по суті справи вічний двигун. Але вічний двигун неможливий, отже, неможливий і «неможливий трикутник». І, напевно, це «доказ» - найпереконливіший.

Що зробило Моріца Ешера феноменом, унікумом, який не мав в мистецтві явних попередників і з яким неможливо наслідувати? Це комбінація площин і обсягів, пильну увагу до химерним формам мікросвіту - живого і неживого, до незвичайних точок зору на звичайні речі. Основний ефект його композицій - ефект появи неможливих відносин між знайомими предметами. Ці ситуації з першого погляду можуть і налякати, і викликати посмішку. Можна радісно дивитися на забаву, яку пропонують художник, а можна серйозно зануритися в глибини діалектики.

Моріц Ешер показав, що світ може бути зовсім не таким, яким ми його бачимо і звикли сприймати - треба тільки подивитися на нього під іншим, новим кутом зору!

Моріц Ешер

Морицу Ешер більш пощастило як вченому, ніж як художнику. У його гравюрах і літографіях бачили ключі до доведення теорем або оригінальні контрприклади, що кидають виклик здоровому глузду. На худий кінець їх сприймали як прекрасні ілюстрації до наукових трактатів по кристалографії, теорії груп, когнітивної психології або комп'ютерній графіці. Моріц Ешер працював в області співвідношень простору, часу і їх тотожності, використовував базові зразки мозаїк, застосовуючи до них трансформації. Це великий майстер оптичних обманів. Гравюри Ешера зображують не мир формул, а красу світу. Їх інтелектуальний склад докорінно протилежний алогічним творінь сюрреалістів.

Голландський художник Моріц Корнеліус Ешер народився 17 червня 1898 року в провінції Голландії. У будинку, де народився Ешер, зараз знаходиться музей.

З 1907 року Моріц вчиться плотницкому справі і грі на піаніно, навчається в середній школі. Оцінки з усіх предметів у Моріца були поганими за винятком малювання. Учитель малювання помітив талант у хлопчика і навчив його робити гравюри по дереву.

У 1916 році Ешер виконує свою першу графічну роботу, гравюру на фіолетовому лінолеумі - портрет свого батька Г. А. Ешера. Він відвідує майстерню художника Герта Стігемана, що мав друкарський верстат. На цьому верстаті були віддруковані перші гравюри Ешера.

У 1918-1919 роках Ешер відвідує Технічний коледж в голландському містечку Дельфт. Він отримує відстрочку від служби в армії для продовження навчання, але через погане здоров'я Моріц не впорався з навчальним планом, і був відрахований. В результаті, він так і не здобув вищої освіти. Він вчиться в Школі архітектури і орнаменту в місті Гаарлеме, Там він бере уроки малювання у Самюеля Джесера де Месквіта, котрий формує вплив на життя і творчість Ешера.

У 1921 році сім'я Ешера відвідала Рів'єру та Італію. Зачарований рослинністю і квітами середземноморського клімату, Моріц зробив детальні малюнки кактусів і оливкових дерев. Він замалював багато ескізів гірських пейзажів, які пізніше лягли в основу його робіт. Пізніше він буде постійно повертатися до Італії, яка буде служити для нього джерелом натхнення.

Ешер починає експериментувати в новому для себе напрямку, вже тоді в його роботах зустрічаються дзеркальні відображення, кристалічні фігури і сфери.

Кінець двадцятих років виявилася дуже плідним періодом для Моріца. Його роботи демонструвалися на багатьох виставках Голландії, а до 1929 року його популярність досягла такого рівня, що за один рік пройшли п'ять персональних виставок в Голландії і Швейцарії. Саме в цей період картини Ешера вперше були названі механічними і "логічними".

Ешер багато подорожує. Живе в Італії і Швейцарії, Бельгії. Вивчає мавританські мозаїки, робить літографії, гравюри. На основі ескізів подорожей він створює свою першу картину неможливою реальності Still Life with Street.

В кінці тридцятих років Ешер продовжує експерименти з мозаїками і трансформаціями. Він створює мозаїку у вигляді двох птахів, що летять назустріч один одному, яка лягла в основу картини "День і ніч".

У травні 1940 року нацисти окупували Голландію і Бельгію, а 17 травня в зону окупації потрапляє і Брюссель, де на той момент проживав Ешер з родиною. Вони знаходять будинок в Варні і переїжджають туди в лютому 1941 року. До кінця своїх днів Ешер буде жити в цьому місті.

У 1946 році Ешер починає цікавитися технологією глибокого друку. І хоча ця технологія була набагато складніша за ту, якою користувався Ешер до цього і вимагала більше часу для створення картини, але результати були вражаючими - тонкі лінії і точна передача тіней. Одна з найвідоміших робіт в техніці глибокого друку "Крапля роси" була закінчена в 1948 році.

У 1950 році Моріц Ешер знаходить популярність як лектор. Тоді ж в 1950 році проходить його перша персональна виставка в Сполучених Штатах і починають купуватися його роботи. 27 квітня 1955 року Моріца Ешера посвячують у лицарі і він стає дворянином.

В середині 50-х років Ешер об'єднує мозаїку з фігурами, що йдуть в нескінченність.

На початку 60-х років вийшла в світ перша книга з роботами Ешера «Grafiek en Tekeningen», в якій 76 робіт прокоментував сам автор. Книга допомогла знайти розуміння серед математиків і кристалографії, включаючи деяких з Росії і Канади.

В серпня 1960 Ешер прочитав лекцію з кристалографії в Кембриджі. Математичні і кристалографічні аспекти творчості Ешера стають дуже популярними.

У 1970 році після нової серії операцій Ешер переїхав в новий будинок в Ларені, в якому була студія, але погане здоров'я не давало можливості багато працювати.

У 1971 році Моріц Ешер помер у віці 73 років. Ешер прожив досить довго, щоб побачити книгу "Світ М. К. Ешера", перекладену на англійську мову і залишився нею дуже задоволений.

Різні неможливі картини зустрічаються на сайтах математиків і програмістів. Найповнішою версією з переглянутих нами, на наш погляд, є сайт Влада Алексєєва

На цьому сайті представлені не тільки широко відомі картини, в тому числі і М. Ешера, але, і анімовані зображення, кумедні малюнки неможливих тварин, монет, марок і т.п. Цей сайт живе, він періодично оновлюється і поповнюється дивовижними малюнками.

керівник

вчитель математики

1.Вступ .......................................................... ...... 3

2. Історична довідка ............................................. .. ... 4

3. Основна частина ......................................................... .7

4. Доказ неможливості трикутника Пенроуза ... ... 9

5. Висновки ...................................................... .. ............ 11

6. Літерарура ....................................................... ...... 12

актуальність: Математика - предмет, вивчають з першого по випускний клас. Багато учнів вважають його складним, нецікавим і непотрібним. Але якщо зазирнути за сторінки підручника, почитати додаткову літературу, математичні софізми і парадокси, то зміниться уявлення про математику, з'явиться бажання вивчати більше, ніж вивчається в шкільному курсі математики.

Мета роботи:

показати, що існування неможливих фігур розширять кругозір, розвиває просторову уяву, застосовується не тільки математиками, але і художниками.

завдання :

1. Вивчити літературу з даної теми.

2. Розглянути неможливі фігури, зробити модель неможливого трикутника, довести, що неможливий трикутник не існує на площині.

3. Зробити розгортку неможливого трикутника.

4. Розглянути приклади використання неможливого трикутника в образотворчому мистецтві.

Вступ

Історично, математика відігравала важливу роль в образотворчому мистецтві, зокрема при зображенні перспективи, що має на увазі реалістичне зображення тривимірної сцени на плоскому полотні або аркуші паперу. Згідно з сучасними поглядами, математика та образотворче мистецтво дуже віддалені один від одного дисципліни, перша - аналітична, друга - емоційна. Математика не грає очевидною ролі в більшості робіт сучасного мистецтва, і, фактично, багато художників рідко або взагалі ніколи не використовують навіть використання перспективи. Однак, є багато художників, у яких математика знаходиться в центрі уваги. Кілька значних фігур в образотворчому мистецтві проклали дорогу цим індивідуумам.

Взагалі-то не існує будь-яких правил або обмежень на використання різних тем в математичному мистецтві, таких як, неможливі фігури, стрічка Мебіуса, спотворення або незвичайні системи перспективи, а також фрактали.

Історія неможливих фігур

Неможливі фігури - певний вид математичних парадоксів, що складаються з регулярних деталей, з'єднаних в нерегулярному комплексі. Якщо спробувати сформулювати визначення терміна "неможливі об'єкти" він би, напевно, звучало приблизно так - фізично можливі фігури, зібрані в неможливому вигляді. Але дивитися на них набагато приємніше, складання визначень.

Помилки просторового побудови зустрічалися у художників і тисячу років тому. Але першим побудував і проаналізувати неможливі об'єкти по праву вважається шведський художник Оскар Рейтерсверд, який намалював в 1934р. перший неможливий трикутник, що складався з дев'яти кубиків.

трикутник Рейтерсверда

Незалежно від Рейтерсверда англійський математик і фізик Роджер Пенроуз повторно відкриває неможливий трикутник і публікує його зображення в британському журналі з психології в 1958р. В ілюзії використана «помилкова перспектива». Іноді таку перспективу називають китайською, так як подібний спосіб малювання, коли глибина малюнка «двозначна», часто зустрічався в роботах китайських художників.

водоспад Ешера

У 1961р. голландець М. Ешер, натхненний неможливим трикутником Пенроуза, створює відому літографію «Водоспад». Вода на картині тече нескінченно, після водяного колеса вона проходить далі і потрапляє назад у вихідну точку. По суті, це зображення вічного двигуна, але будь-яка спроба в реальності побудувати дану конструкцію приречена на невдачу.

Ще один приклад неможливих фігур представлений на малюнку «Москва», на якому зображена не зовсім звичайна схема московського метрополітену. Спочатку ми сприймаємо зображення цілком, але простежуючи поглядом окремі лінії, переконуємося в неможливості їх існування.

« Москва », графіка (туш, олівець), 50х70 см, 2003 р

Малюнок «Три равлики» продовжує традиції другої знаменитої неможливою фігури - неможливого куба (ящика).

«Три равлики» Неможливий куб

Поєднання різних об'єктів можна знайти і в не зовсім серйозному малюнку «IQ» (коефіцієнт інтелекту). Цікаво, що деякі люди не сприймають неможливі об'єкти через те, що їх свідомість не здатна ототожнювати плоскі картини з тривимірними об'єктами.

Дональд Симанека висловив думку, що розуміння візуальних парадоксів є одним з ознак того виду творчого потенціалу, яким володіють кращі математики, вчені і художники. Багато робіт з парадоксальними об'єктами можна віднести до «інтелектуальним математичним іграм». Сучасна наука говорить про 7-мірної або 26-мірної моделі світу. Моделювати подібний світ можна тільки за допомогою математичних формул, людина уявити його просто не в змозі. І тут виявляються корисними неможливі фігури.

Третьою популярної неможливою фігурою є неймовірна сходи, створена Пенроузом. Ви будете по ній безперервно або підніматися (проти годинникової стрілки) або спускатися (за годинниковою стрілкою). Модель Пенроуза лягла в основу знаменитої картини М. Ешера «Вгору і вниз» Неймовірна сходи Пенроуза

неможливий тризуб

«Чортова вилка»

Існує ще одна група об'єктів, реалізувати які не вийде. Класичною фігурою є неможливий тризуб, або «чортова вилка». При уважному вивченні картинки можна помітити, що три зубці поступово переходять в два на єдиному підставі, що призводить до конфлікту. Ми порівнюємо кількість зубців зверху і знизу і приходимо до висновку про неможливість об'єкта. Якщо закрити рукою верхню частину тризубця, то ми побачимо цілком реальну картину - три круглі зуба. Якщо закрити нижню частину тризубця, то ми теж побачимо реальну картину - два прямокутні зубця. Але, якщо розглядати всю фігуру цілком, то виходить що три круглих зубця поступово перетворюються в два прямокутних.

Таким чином, можна побачити, що передній і задній плани даного малюнка конфліктують. Тобто, те, що було спочатку на передньому плані йде назад, а задній план (середній зуб) вилазить вперед. Крім зміни переднього і заднього планів в даному малюнку присутній ще один ефект - плоскі грані верхньої частини тризубця стають круглими в нижній частині.

Основна частина.

трикутник- фігура, що складається з 3-х сусідніх частин, яка за допомогою неприйнятних з'єднань цих частин створює ілюзію з математичної точки зору неможливою структури. По-іншому ще цей трехбалочнік називають косинцем Пенроуз

Графічний принцип, який переховується за цією ілюзією, зобов'язаний своєю формулюванням психолога і його синові Роджеру, фізику. Косинець Пенрузов складається з 3-х брусків квадратного перетину, розташованих в 3-х взаємно-перпендикулярних напрямках; кожен з'єднується з наступним під прямим кутом, все це поміщається в тривимірному просторі. Ось простий рецепт, як намалювати цю изометрическую проекцію кутника Пенрузов:

· Обріжте кути у рівностороннього трикутника по лініях, паралельним сторонам;

· Проведіть всередині обрізаного трикутника паралелі до сторін;

· Ще раз обріжте кути;

· Ще раз проведіть всередині паралелі;

· Уявіть собі в одному з кутів якої-небудь з двох можливих кубів;

· Чи продовжите його L - образної "штукою";

· Проженете цю конструкцію по колу.

· Якби ми вибрали інший куб, то кутник був би "закручений" в іншу сторону .

Розгортка неможливого трикутника.

лінія перегину

лінія розрізу

З яких елементів будується неможливий трикутник? Точніше, з яких елементів він здається нам (саме здається!) Побудованим? В основі конструкції лежить прямокутний куточок, який виходить з'єднанням під прямим кутом двох однакових прямокутних брусків. Таких куточків потрібно три штуки, а брусків, стало бути, шість штук. Ці куточки треба певним чином візуально «з'єднати» один з іншим так, щоб вони утворили замкнуту ланцюг. Те, що вийде, і є неможливий трикутник.

Перший куточок помістимо в горизонтальній площині. До нього приєднаємо другий куточок, направивши одне з його ребер вгору. Нарешті, до цього другого куточку влаштуємо третій куточок так, щоб його ребро було паралельно вихідної горизонтальній площині. При цьому два ребра першого і третього куточків будуть паралельні і спрямовані в різні боки.

А тепер спробуємо милено подивитися на фігуру з різних точок простору (або зробіть реальний макет з дроту). Уявіть, як вона виглядає з однієї точки, з іншого, з третьої ... При зміні точки спостереження (або - що те ж саме - при повороті конструкції в просторі) буде здаватися, що два «кінцевих» ребра наших куточків переміщаються відносно один одного. Неважко підібрати такий стан, при якому вони з'єднаються (звичайно, при цьому ближній куточок буде здаватися нам товщі, ніж довший).

Але якщо відстань між ребрами набагато менше відстані від куточків до точки, з якої ми розглядаємо нашу конструкцію, то обидва ребра матимуть для нас однакову товщину, і виникне уявлення про те, що ці два ребра - насправді продовження один одного.

До речі, якщо ми одночасно подивимося на відображення конструкції в дзеркалі, то там замкненого кола не побачимо.

А з обраної точки спостереження ми на власні очі бачимо доконане диво: є замкнута ланцюг з трьох куточків. Тільки не міняйте точку спостереження, щоб ця ілюзія (насправді саме ілюзія!) Не зруйнувалася. Тепер можна намалювати видимий вам об'єкт або помістити в знайдену точку об'єктив фотоапарата і отримати фотографію неможливого об'єкта.

Першими цим явищем зацікавилися Пенроузи. Вони використовували можливості, які виникають при відображенні тривимірного простору і тривимірних об'єктів на двовимірну площину (тобто при проектуванні) і звернули увагу на деяку невизначеність проектування - незамкнута конструкція з трьох куточків може сприйматися як замкнута ланцюг.

Як вже говорилося, з дроту можна легко виготовити найпростішу модель, в принципі пояснює спостережуваний ефект. Візьміть прямолінійний шматок дроту і розділіть його на три рівні частини. Потім зігніть крайні частини так, щоб вони утворили прямий кут з середньою частиною, і поверніть один щодо одного на 900. Тепер повертайте цю фігурку і спостерігайте за нею одним оком. При деякому її положенні буде здаватися, що вона утворена з замкнутого шматки дроту. Включивши настільну лампу, можна поспостерігати за тінню, що падає на стіл, яка також при певному розташуванні фігури в просторі перетворюється в трикутник.

Втім, цю особливість проектування можна спостерігати і в іншій ситуації. Якщо зробити кільце з дроту, а потім його розвести в різні боки, то вийде один виток циліндричної спіралі. Цей виток, зрозуміло, розімкнути. Але при проектуванні його на площину можна отримати замкнуту лінію.

Ми ще раз переконалися, що по проекції на площину, по малюнку тривимірна фігура відновлюється неоднозначно. Тобто в проекції укладена деяка двозначність, недомовленість, які і породжують «неможливий трикутник».

І можна сказати, що «неможливий трикутник» Пенроуз, як багато інших оптичні ілюзії, стоїть в одному ряду з логічними парадоксами і каламбурами.

Доказ неможливості трикутника Пенроуза

Аналізуючи особливості двовимірного зображення тривимірних об'єктів на площині, ми зрозуміли, як особливості цього відображення призводять до неможливого трикутника.

Довести, що неможливий трикутник не існує, вкрай легко, адже кожен його кут прямий, а їх сума рівна 2700 замість «покладених» 1800.

Більш того, навіть якщо ми будемо розглядати неможливий трикутник, склеєний з куточків, менших 900, то і в цьому випадку можна довести, що неможливий трикутник не існує.

Розглянемо ще один трикутник, який складається з декількох частин. Якщо частини, з якого він складається, розташувати по іншому, то вийде точно такий же трикутник, але з одним маленьким вадою. Чи не буде вистачати одного квадрата. Як таке можливо? Або все-таки це ілюзія.

https://pandia.ru/text/80/021/images/image016_2.jpg "alt \u003d" (! LANG: Неможливий трикутник" width="298" height="161">!}

Використання феномена сприйняття

Чи можна як-небудь посилити ефект неможливості? "Неможливо" чи одні об'єкти, ніж інші? І тут на допомогу приходять особливості людського сприйняття. Психологами встановлено, що око починає огляд об'єкта (картини) з лівого нижнього кута, потім погляд ковзає направо до центру і опускається в правий нижній кут картини. Така траєкторія, можливо, пов'язана з тим, що наші предки при зустрічі з противником спочатку дивилися на найнебезпечнішу праву руку, а потім погляд переміщався вліво, на обличчя і фігуру. Таким чином, художнє сприйняття буде істотно залежати від того, як будується композиція картини. Ця особливість в Середні століття яскраво проявилася при виготовленні гобеленів: їх малюнок був дзеркальним відображенням оригіналу, і враження, яке справляють гобелени і оригінали, різниться.

Дана властивість можна з успіхом використовувати при створенні творів з неможливими об'єктами, збільшуючи або зменшуючи "ступінь неможливості". Відкривається також перспектива отримувати цікаві композиції з використанням комп'ютерних технологій або з декількох картин, повернених (може бути, з використанням різного виду симетрій) одна щодо іншої, створюють у глядачів різне враження від об'єкта і більш глибоке розуміння суті задуму, або з однієї, що повертається ( постійно або ривками) за допомогою нехитрого механізму на деякі кути.

Такий напрям можна назвати полігональним (багатокутним). На ілюстраціях представлені зображення, повернені одна щодо іншої. Композиція створювалася в такий спосіб: малюнок на папері, виконаний тушшю і олівцем, сканувався, перекладався в цифрову форму і оброблявся в графічному редакторі. Можна відзначити закономірність - повернена картинка має більшу "ступенем неможливості", ніж вихідна. Це легко пояснити: художник в процесі роботи підсвідомо прагне створити "правильне" зображення.

висновок

Використання різних математичних фігур і законів не обмежується лише вищенаведеними прикладами. Уважно вивчаючи всі наведені фігури, можна знайти й інші, не згадані в цій статті, геометричні тіла або візуальну інтерпретацію математичних законів.

Математичні образотворче мистецтво процвітає сьогодні, і багато художники створюють картини в стилі Ешера і в своєму власному стилі. Ці художники працюють в різних напрямках, включаючи скульптуру, малювання на плоских і тривимірних поверхнях, літографію і комп'ютерну графіку. А найбільш популярними темами математичного мистецтва залишаються багатогранники, неможливі фігури, стрічки Мебіуса, спотворені системи перспективи і фрактали.

висновки:

1. Отже, розгляд неможливих фігур розвивають наше просторову уяву, допомагають «вийти» з площини в тривимірний простір, що допоможе при вивченні стереометрії.

2. Моделі неможливих фігур допомагають розглядати проекції на площині.

3. Розгляд математичних софізмів і парадоксів прищеплюють інтерес до математики.

При виконанні даної роботи

1. Я дізнався - як, коли, де і ким була вперше розглянуті неможливі фігури, що таких фігур багато, ці фігури постійно намагаються зображати художники.

2. Я, разом з татом зробив модель неможливого трикутника, розглянув її проекції на площину, побачив парадокс даної фігури.

3. Розглянув репродукції художників, на яких зображені дані фігури

4. Мої дослідження зацікавили однокласників.

У подальшому отримані знання я буду використовувати на уроках математики та мене зацікавили, а чи існують інші парадокси?

ЛІТЕРАТУРА

1. Кандидат технічних наук Д. РАКОВ Історія неможливих фігур

2. Неможливі фігури. - М .: Стройиздат, 1990..

3. Алексєєва Ілюзії · 7 Comments

4. Дж. Тімоті Анрах. - Дивовижні фігури.
(ТОВ "Видавництво АСТ", ТОВ "Видавництво Астрель", 2002, 168 с.)

5. . - Графіка.
(Арт-Родник, 2001)

6. Даглас Хофштадтера. - Гедель, Ешер, Бах: ця нескінченна гірлянда. (Видавничий дім "Бахрах-М", 2001)

7. А. Коненко - Таємниці неможливих фігур
(Омськ: Лівша, 199)

Вітаю вас шановні читачі блогу сайт. На зв'язку Рустам Закіров і у мене для вас чергова стаття, тема якої як намалювати трикутник Пенроуза. Сьогодні я хочу вам показати як легко і просто можна намалювати неможливий трикутник. Ми з вами намалюємо два малюнки цього трикутника, один буде звичайний, а другий справжнісінький 3д малюнок. І все це буде напрочуд просто. Справжній 3д малюнок цього трикутника ви зможете. Сумніваюся, що таке вам покажуть десь ще, тому читайте статтю до кінця і дуже уважно.

Для наших малюнків нам як завжди знадобляться: листок паперу прості олівці (бажано один «середній», «інший м'який») і кілька кольорових олівців або фломастерів.

Як легко малювати будь-які 3д малюнки.

Цю неможливий трикутник я витягнув ось з цієї звичайної картинки, яку просто знайшов в інтернеті. Ось вона.

А потім за пару хвилин за допомогою перевів її в 3д . Так можна переводити в 3д майже будь-які зображення. Хто хоче навчитися так само, тисніть сюди.

А ми переходимо до нашого малюнку.

Малюємо звичайний малюнок трикутник.

КРОК №1. Переводимо c екрану монітора.

Для того щоб вам намалювати трикутник, вам потрібно буде зробити наступне. Ви берете ваш листок паперу і притуляєте її до трикутника на екрані монітора, і просто переводите його.

А так як наш трикутник зовсім не складний, досить поставити тільки основні точки у всіх його кутах.

А потім дивимося на оригінал і по з'єднуємо ці точки за допомогою лінійки. У мене вийшло ось так.

Всі наш трикутник готовий. Можна залишити так, але давайте ми його ще трішечки прикрасити. Я це зробив за допомогою кольорових олівців. Після того як ми повністю прикрасили наш трикутник, ще раз повністю обводимо його простим м'яким олівцем.

На цьому наш звичайний трикутник Пенроуза повністю готовий, і ми переходимо до цього ж трикутника.

Малюємо 3д малюнок трикутник.

КРОК №1. Переводимо.

Діємо за тією ж самою схемою, як і зі звичайним малюнком. Я даю вам готовий, вже переведений в 3д формат трикутник. Ось він.

А ви переводите його. Робимо все так само як зі звичайним малюнком. Ви берете свій листок, притуляєте його до на екрані монітора, листок просвічує, і ви просто переводите готовий 3д малюнок на свій листок.

Ось що вийшло у мене.

Розмір трикутника можна збільшити або зменшити. Для цього потрібно просто змінити масштаб вашого монітора. Затисніть клавішу Ctrl і покрутіть коліщатко мишки.

Можна сміливо сказати, що наш 3д малюнок вже готовий. Пішло на нього у мене приблизно 3 хвилини. На цьому в принципі можна сміливо закінчити, але давайте ще Разукрасим наш трикутник.

Дмитро Раков

Наші очі пізнавати не вміють
природу предметів.
А тому не нав'язуй їм
помилок розуму.

Тіт Лукрецій Кар

Розхожий вислів "обман зору" по суті своїй не так. Очі не можуть обдурити нас, оскільки є тільки проміжною ланкою між об'єктом і мозком людини. Обман зору зазвичай виникає не через те, що ми бачимо, а через те, що несвідомо розмірковуємо і мимоволі помиляємося: "за допомогою очі, а не оком дивитися на світ вміє розум".

Одним з найбільш ефектних напрямків мистецької течії оптичного мистецтва (op-art) є імп-арт (imp-art, impossible art), заснований на зображенні неможливих фігур. Неможливі об'єкти є малюнками на площині (будь-яка площина двомірна), що зображують тривимірні структури, існування яких в реальному тривимірному світі неможливо. Класичною і однією з найпростіших фігур є неможливий трикутник.

У неможливе трикутнику кожен кут сам по собі є можливим, але парадокс виникає, коли ми розглядаємо його цілком. Сторони трикутника спрямовані одночасно і до глядача, і від нього, тому окремі його частини не можуть утворити реальний тривимірний об'єкт.

Власне кажучи, наш мозок інтерпретує малюнок на площині як тривимірну модель. Свідомість задає "глибину", на якій знаходиться кожна точка зображення. Наші уявлення про реальний світ стикаються з протиріччям, з якоїсь непослідовністю, і доводиться робити деякі припущення:

• прямі двомірні лінії інтерпретуються як прямі тривимірні лінії;
• двомірні паралельні лінії інтерпретуються як тривимірні паралельні лінії;
• гострі і тупі кути інтерпретуються як прямі кути в перспективі;
• зовнішні лінії розглядаються як межа форми. Ця зовнішня межа надзвичайно важлива для побудови повного зображення.

Людська свідомість спочатку створює загальне зображення предмета, а потім розглядає окремі частини. Кожен кут сумісний з просторовою перспективою, але, возз'єднавшись, вони утворюють просторовий парадокс. Якщо закрити будь-який з кутів трикутника, то неможливість пропадає.

Історія неможливих фігур

Помилки просторового побудови зустрічалися у художників і тисячу років тому. Але першим побудував і проаналізувати неможливі об'єкти по праву вважається шведський художник Оскар Рейтерсверд (Oscar Reutersvärd), який намалював в 1934 р перший неможливий трикутник, що складався з дев'яти кубиків.

		"Москва", графіка (Туш, олівець), 50х70 см, 2003 р

Незалежно від Рейтерсверда англійський математик і фізик Роджер Пенроуз повторно відкриває неможливий трикутник і публікує його зображення в британському журналі з психології в 1958 р ілюзії використана "помилкова перспектива". Іноді таку перспективу називають китайською, так як подібний спосіб малювання, коли глибина малюнка "двозначна", часто зустрічався в роботах китайських художників.

На малюнку "Три равлики" маленький і великий куби орієнтовані не в нормальній ізометричної проекції. Менший за розмірами куб сполучається з великим по переднім і заднім сторонам, а значить, слідуючи тривимірної логіці, він має такі ж розміри деяких сторін, що і великий. Спочатку малюнок здається реальним поданням твердого тіла, але в міру аналізу виявляються логічні суперечності цього об'єкта.

Малюнок "Три равлики" продовжує традиції другої знаменитої неможливою фігури - неможливого куба (ящика).

"IQ", графіка (Туш, олівець), 50х70 см, 2001 г.		"Вгору і вниз", М. Ешер

Поєднання різних об'єктів можна знайти і в не зовсім серйозному малюнку "IQ" (intelligence quotient - коефіцієнт інтелекту). Цікаво, що деякі люди не сприймають неможливі об'єкти через те, що їх свідомість не здатна ототожнювати плоскі картини з тривимірними об'єктами.

Дональд Е. Симанека висловив думку, що розуміння візуальних парадоксів є одним з ознак того виду творчого потенціалу, яким володіють кращі математики, вчені і художники. Багато робіт з парадоксальними об'єктами можна віднести до "інтелектуальним математичним іграм". Сучасна наука говорить про 7-мірної або 26-мірної моделі світу. Моделювати подібний світ можна тільки за допомогою математичних формул, людина уявити його просто не в змозі. І тут виявляються корисними неможливі фігури. З філософської точки зору вони служать нагадуванням про те, що будь-які явища (в системному аналізі, науці, політиці, економіці і т. Д.) Слід розглядати у всіх складних і неочевидних взаємозв'язках.

Різноманітні неможливі (і можливі) об'єкти представлені на картині "Неможливий алфавіт".

Третьою популярної неможливою фігурою є неймовірна сходи, створена Пенроузом. Ви будете по ній безперервно або підніматися (проти годинникової стрілки) або спускатися (за годинниковою стрілкою). Модель Пенроуза лягла в основу знаменитої картини М. Ешера "Вгору і вниз" ( "Ascending and Descending").

Існує ще одна група об'єктів, реалізувати які не вийде. Класичною фігурою є неможливий тризуб, або "чортова вилка".

При уважному вивченні картинки можна помітити, що три зубці поступово переходять в два на єдиному підставі, що призводить до конфлікту. Ми порівнюємо кількість зубців зверху і знизу і приходимо до висновку про неможливість об'єкта.

Чи є якась більш істотна користь від неможливих малюнків, ніж гра розуму? У деяких лікарнях спеціально розвішують зображення неможливих об'єктів, оскільки їх розглядання здатне надовго зайняти хворих. Логічно було б розвісити такі малюнки в касах, в міліції та інших місцях, де очікування своєї черги триває часом цілу вічність. Малюнки могли б виступити в ролі таких собі "хронофаги", тобто пожирачів часу.