В якому порядку записано натуральні числа. Натуральний ряд чисел

Місце нуля

Існують два підходи до визначення натуральних чисел:

• підрахунку (нумерації)предметів ( перший, другий, третій, четвертий, п'ятий…);
• натуральні числа - числа, що виникають при позначення кількостіпредметів ( 0 предметів, 1 предмет, 2 предмети, 3 предмети, 4 предмети, 5 предметів…).

У першому випадку ряд натуральних чисел починається з одиниці, у другому – з нуля. Не існує єдиної більшості математиків думки про перевагу першого чи другого підходу (тобто вважати чи нуль натуральним числом чи ні). У переважній більшості російських джерел традиційно прийнято перший підхід. Другий підхід, наприклад, застосовується у працях Ніколя Бурбаки, де натуральні числа визначаються як потужності кінцевих множин. Наявність нуля полегшує формулювання та доказ багатьох теорем арифметики натуральних чисел, тому за першого підходу вводиться корисне поняття розширеного натурального ряду, Що включає нуль.

Безліч всіх натуральних чисел прийнято позначати символом. Міжнародні стандарти ISO 31-11 (1992 рік) та ISO 80000-2 (2009 рік) встановлюють такі позначення:

У російських джерелах цей стандарт поки не дотримується - у них символ N (\displaystyle \mathbb (N) )позначає натуральні числа без нуля, а розширений натуральний ряд позначається N 0 , Z + , Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0),\mathbb (Z) _(+),\mathbb (Z) _(\geqslant 0))і т.д.

Аксіоми, що дозволяють визначити безліч натуральних чисел

Аксіоми Пеано для натуральних чисел

Безліч N (\displaystyle \mathbb (N) )називатимемо безліччю натуральних чисел, якщо зафіксовано певний елемент 1 (одиниця), функція S (\displaystyle S)з областю визначення N (\displaystyle \mathbb (N) ), звана функцією слідування ( S: N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) )), та виконані такі умови:

1. елемент одиниця належить цій множині ( 1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) )), тобто є натуральним числом;
2. число, наступне за натуральним, також є натуральним (якщо , то S (x) ∈ N (\displaystyle S(x)\in \mathbb (N) )або, у більш короткому записі, S: N → N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) \to \mathbb (N) ));
3. одиниця не слідує ні за яким натуральним числом ( ∄ x ∈ N (S (x) = 1) (\displaystyle \nexists x\in \mathbb (N) \ (S(x)=1)));
4. якщо натуральне число a (\displaystyle a)безпосередньо слідує як за натуральним числом b (\displaystyle b), так і за натуральним числом c (\displaystyle c), то b (\displaystyle b)і c (\displaystyle c)- це те саме число (якщо S(b) = a (\displaystyle S(b)=a)і S(c) = a (\displaystyle S(c)=a), то b = c (\displaystyle b = c));
5. (аксіома індукції) якщо будь-яка пропозиція (висловлювання) P (\displaystyle P)доведено для натурального числа n = 1 (\displaystyle n=1) (база індукції) і якщо з припущення, що воно правильне для іншого натурального числа n (\displaystyle n), Випливає, що воно правильне для наступного n (\displaystyle n)натурального числа ( індукційне припущення), то ця пропозиція правильна для всіх натуральних чисел (нехай P(n) (\displaystyle P(n))- Деякий одномісний (унарний) предикат, параметром якого є натуральне число n (\displaystyle n). Тоді, якщо P (1) (\displaystyle P(1))і ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) (\displaystyle \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))), то ∀ n P (n) (\displaystyle \forall n\;P(n))).

Перераховані аксіоми відображають наше інтуїтивне уявлення про натуральний ряд і числову лінію.

Принциповим фактом і те, що це аксіоми насправді однозначно визначають натуральні числа (категоричність системи аксіом Пеано). А саме, можна довести (див. , а також короткий доказ), що якщо (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S))і (N ~ , 1 ~ , S ~) (\displaystyle ((\tilde (\mathbb (N) )),(\tilde (1)),(\tilde (S)))))- дві моделі для системи аксіом Пеано, то вони необхідно ізоморфні, тобто існує оборотне відображення (бієкція) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) )))така, що f (1) = 1 ~ (\displaystyle f(1)=(\tilde (1)))і f(S(x)) = S~(f(x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde(S))(f(x)))для всіх x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ).

Тому, достатньо зафіксувати як N (\displaystyle \mathbb (N) )якусь одну конкретну модель безлічі натуральних чисел.

Іноді, особливо в іноземній та перекладній літературі, у першій та третій аксіомах Пеано замінюють одиницю на нуль. І тут нуль вважається натуральним числом. При визначенні через класи рівносильних множин нуль є натуральним числом за визначенням. Спеціально відкидати його було б неприродно. Крім того, це значно ускладнило б подальшу побудову та застосування теорії, так як у більшості конструкцій нуль, як і порожня множина, не є чимось відокремленим. Іншою перевагою вважати нуль натуральним числом є те, що при цьому N (\displaystyle \mathbb (N) )утворює моноід. Як згадувалося , у російській літературі зазвичай нуль виключений із числа натуральних чисел.

Теоретико-множинне визначення натуральних чисел (визначення Фреге – Рассела)

Таким чином, і натуральні числа вводяться, виходячи з поняття множини, за двома правилами:

Числа, задані в такий спосіб, називаються ординальними .

Опишемо кілька перших ординальних чисел та відповідних їм натуральних чисел:

Величина безлічі натуральних чисел

Величина нескінченної множини характеризується поняттям «потужність множини», яке є узагальненням числа елементів кінцевої множини на нескінченні множини. За величиною (тобто потужності) безліч натуральних чисел більше будь-якої кінцевої множини, але менше будь-якого інтервалу, наприклад, інтервалу (0 , 1) (\displaystyle (0,1)). Безліч натуральних чисел за потужністю така сама, як безліч раціональних чисел. Безліч такої ж потужності, як безліч натуральних чисел, називається лічильним безліччю . Так, безліч членів будь-якої послідовності лічить. У той же час, існує послідовність, в яку кожне натуральне число входить нескінченне число разів, оскільки безліч натуральних чисел можна представити як лічильне об'єднання лічильних множин, що не перетинаються (наприклад , N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\bigcup \limits _(n=0)^(\infty )(2n+1)2^(k)\right))).

Операції над натуральними числами

До замкнутих операцій (операцій, які не виводять результат з безлічі натуральних чисел) над натуральними числами відносяться такі арифметичні операції:

Додатково розглядають ще дві операції (з формальної точки зору не є операціями над натуральними числами, тому що не визначені для всіхпар чисел (іноді існують, іноді немає):

Слід зауважити, що операції складання та множення є основними. Зокрема, кільце цілих чисел визначається саме через бінарні операції складання та множення.

Основні властивості

• Комутативність складання:

a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a).

• Комутативність множення:

a ⋅ b = b ⋅ a (displaystyle a cdot b = b cdot a).

• Асоціативність складання:

(a + b) + c = a + (b + c) (\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)).

• Асоціативність множення:

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\displaystyle (acdot b)cdot c=acdot (bcdot c)).

• Дистрибутивність множення щодо складання:

( a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a (\displaystyle (\begin(cases)a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end(cases))).

Алгебраїчна структура

Додавання перетворює безліч натуральних чисел на напівгрупу з одиницею, роль одиниці виконує 0 . Множення також перетворює безліч натуральних чисел на напівгрупу з одиницею, причому одиничним елементом є 1 . За допомогою замикання щодо операцій складання-віднімання та множення-поділу виходять групи цілих чисел Z (\displaystyle \mathbb (Z) )та раціональних позитивних чисел Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q) _(+)^(*))відповідно.

Історія натуральних чисел почалася ще за первісних часів.З давніх-давен люди вважали предмети. Наприклад, у торгівлі потрібен був рахунок товару або у будівництві рахунок матеріалу. Та навіть у побуті теж доводилося рахувати речі, продукти, худобу. Спочатку числа використовувалися лише підрахунку у житті, практично, але надалі у розвитку математики стали частиною науки.

Натуральні числа- Це числа які ми використовуємо при рахунку предметів.

Наприклад: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ….

Нуль не відноситься до натуральних чисел.

Усі натуральні числа або назвемо множину натуральних чисел позначається символом N.

Таблиця натуральних чисел.

Натуральний ряд.

Натуральні числа, записані поспіль у порядку зростання, утворюють натуральний рядабо ряд натуральних чисел.

Властивості натурального ряду:

• Найменше натуральне число – одиниця.
• У натурального ряду таке число більше попереднього на одиницю. (1, 2, 3, …) Три точки чи трикрапки ставляться у разі, якщо закінчити послідовність чисел неможливо.
• Натуральний ряд немає найбільшого числа, він нескінченний.

Приклад №1:
Напишіть перші 5 натуральних числа.
Рішення:
Натуральні числа починаються з одиниці.
1, 2, 3, 4, 5

Приклад №2:
Нуль є натуральним числом?
Відповідь: ні.

Приклад №3:
Яке перше число у натуральному ряду?
Відповідь: натуральний ряд починається з одиниці.

Приклад №4:
Яке останнє число у натуральному ряді? Назвіть найбільше натуральне число?
Відповідь: Натуральний ряд починається з одиниці. Кожне наступне число більше за попереднє на одиницю, тому останнього числа не існує. Найбільшого числа немає.

Приклад №5:
Чи має одиниця в натуральному ряду попереднє число?
Відповідь: ні, тому що одиниця є першим числом у натуральному ряду.

Приклад №6:
Назвіть таке число в натуральному ряду за числами: а)5, б)67, в)9998.
Відповідь: а)6, б)68, в)9999.

Приклад №7:
Скільки чисел знаходиться у натуральному ряду між числами: а)1 та 5, б)14 та 19.
Рішення:
а) 1, 2, 3, 4, 5 – три числа перебувають між числами 1 та 5.
б) 14, 15, 16, 17, 18, 19 – чотири числа перебувають між числами 14 та 19.

Приклад №8:
Назвіть попереднє число за числом 11.
Відповідь: 10.

Приклад №9:
Які числа застосовуються за рахунку предметів?
Відповідь: натуральні числа.

Числа, призначені для підрахунку предметів і відповідають питання «скільки?» («скільки

м'ячів?», «Скільки яблук?», «Скільки солдатиків?»), називаються натуральними.

Якщо записати їх по порядку, від меншої кількості до більшої, то вийде натуральний ряд чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 99, 100, 101, …, 999, 1000, 1001 …

Натуральний ряд чисел починається із числа 1.

Кожне наступне натуральне число на 1 більше за попереднє.

Натуральний ряд чисел нескінченний.

Числа бувають парні та непарні.Парні числа поділяються на два, а непарні числа не поділяються на два.

Ряд непарних чисел:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …, 99, 101, …, 999, 1001, 1003 …

Ряд парних чисел:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 98, 100, …, 998, 1000, 1002 …

У натуральному ряду непарні та парні числа чергуються:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …, 99, 100, …, 999, 1000 …

Як порівнювати натуральні числа

При порівнянні двох натуральних чисел більше те, що стоїть у натуральному ряду правіше:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

Так, сім більше трьох, а п'ять більше одиниці.

У математиці для запису слова «менше» використовують знак «<», а для записи слова «больше» - знак « > ».

Гострий куточок значків «більший» і «менший» завжди спрямований у бік меншого з двох чисел.

Запис 7 > 3 читається як «сім більше трьох».

Запис 3< 7 читается как «три меньше семи».

Запис 5 > 1 читається як п'ять більше одного.

Запис 1< 5 читается как «один меньше пяти».

Слово "рівно" в математиці замінюють знаком "=":

Коли числа великі, важко відразу сказати, яке з них стоїть правіше в натуральному ряду.

При порівнянні двох натуральних чисел з різною кількістю цифр більше їх те, у якому цифр більше.

Наприклад, 233 000< 1 000 000, потому что в пер­вом числе шесть цифр, а во втором - семь.

Багатозначні натуральні числа з однаковою кількістю цифр порівнюються порозрядно, починаючи зі старшого розряду.

Спочатку порівнюються одиниці найстаршого розряду, потім - наступного, наступного і так далі. Наприклад, порівнюємо числа 5401 та 5430:

5401 = 5 тисяч 4 сотні 0 десятків 1 одиниця;

5430 = 5 тисяч 4 сотні 3 десятки 0 одиниць.

Порівнюємо одиниці тисяч. У розряді одиниць тисяч числа 5401 – 5 одиниць, у розряді одиниць тисяч числа 5430 – 5 одиниць. Порівнявши одиниці тисяч, ще не можна сказати, яке чисел більше.

Порівнюємо сотні. У розряді сотень числа 5401 – 4 одиниці, у розряді сотень числа 5430 – теж 4 одиниці. Потрібно продовжувати порівняння.

Порівнюємо десятки. У розряді десятків числа 5401 – 0 одиниць, у розряді десятків числа 5430 – 3 одиниці.

Порівнявши, отримаємо 0< 3, поэтому 5401 < 5430.

Числа можна розташовувати в порядку зменшення та в порядку зростання.

Якщо запису кількох натуральних чисел кожне наступне число менше попереднього, то кажуть, що числа записані порядку спадання.

Запишемо числа 5, 22, 13, 800 у порядку зменшення.

Знайдемо більше. Число 5 – однозначне, 13 та 22 – двозначні, 800 – тризначне число і, отже, найбільше. Пишемо на першому місці 800.

З двоцифрових чисел 13 і 22 більше 22. Пишемо за числом 800 число 22, а потім 13.

Найменше число – однозначне число 5. Пишемо його останнім.

800, 22, 13, 5 - запис даних чисел у порядку їх зменшення.

Якщо запису кількох натуральних чисел кожне наступне число більше попереднього, то кажуть, що числа записані порядку зростання.

А як записати числа 15, 2, 31, 278, 298 у порядку зростання?

Серед чисел 15, 2, 31, 278, 298 знайдемо менше.

Це однозначне число 2. Запишемо його першому місці.

З двоцифрових чисел 15 і 31 вибираємо менше - 15, пишемо його на другому місці, а за ним - 31.

З трицифрових чисел 278 - менше, пишемо його за числом 31, а останнім пишемо число 298.

2, 15, 21, 278, 298 - запис даних чисел у порядку зростання

Найпростіше число - це натуральне число. Їх використовують у повсякденному житті для підрахунку предметів, тобто. для обчислення їх кількості та порядку.

Що таке натуральне число: натуральними числаминазивають числа, які використовуються для підрахунку предметів чи вказівки порядкового номера будь-якого предмета з усіх одноріднихпредметів.

Натуральні числа- Це числа, починаючи з одиниці. Вони утворюються природним чином.Наприклад, 1,2,3,4,5... -перші натуральні числа.

Найменше натуральне число- один. Найбільшого натурального числа немає. При рахунку число нуль не використовують, тому нуль натуральне число.

Натуральний ряд чисел- Це послідовність всіх натуральних чисел. Запис натуральних чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

У натуральному ряду кожне число більше за попереднє на одиницю.

Скільки чисел у натуральному ряду? Натуральний ряд нескінченний, найбільшого натурального числа немає.

Десяткової тому що 10 одиниць будь-якого розряду утворюють 1 одиницю старшого розряду. Позиційної так як значення цифри залежить від місця у числі, тобто. від розряду, де її записано.

Класи натуральних чисел.

Будь-яке натуральне число можна написати за допомогою 10-ти арабських цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Для читання натуральних чисел їх розбивають починаючи праворуч на групи по 3 цифри в кожній. 3 перші цифри справа – це клас одиниць, 3 наступні – це клас тисяч, далі класи мільйонів, мільярдів татак далі. Кожна з цифр класу називається йогорозрядом.

Порівняння натуральних чисел.

З 2-х натуральних чисел менше число, яке за рахунку називається раніше. Наприклад, число 7 менше 11 (Записують так:7 < 11 ). Коли одне число більше за друге, це записують так:386 > 99 .

Таблиця розрядів та класів чисел.

1-й клас одиниці	1-й розряд одиниці 2-й розряд десятки 3-й розряд сотні
2-й клас тисячі	1-й розряд одиниці тисяч 2-й розряд десятки тисяч 3-й розряд сотні тисяч
3-й клас мільйони	1-й розряд одиниці мільйонів 2-й розряд десятки мільйонів 3-й розряд сотні мільйонів
4-й клас мільярди	1-й розряд одиниці мільярдів 2-й розряд десятки мільярдів 3-й розряд сотні мільярдів

Числа від 5-го класу та вище відносяться до великих чисел. Одиниці 5-го класу - трильйони, 6-го класу - квадрильйони, 7-го класу - квінтильйони, 8-го класу - секстильйони, 9-го класу -ептільйони. Основні властивості натуральних чисел. Комутативність складання . a + b = b + a Комутативність множення. ab = ba Асоціативність складання. (a + b) + c = a + (b + c) Асоціативність множення. Дистрибутивність множення щодо складання: Події над натуральними числами. 4. Розподіл натуральних чисел – операція, зворотна операції множення. Якщо b ∙ с = ​​а, то Формули для розподілу: а: 1 = a a: a = 1, a ≠ 0 0: a = 0, a ≠ 0 (а∙ b) : c = (a:c) ∙ b (а∙ b) : c = (b:c) ∙ a Числові вирази та числові рівності. Запис, де числа з'єднуються знаками дій, є числовим виразом. Наприклад, 10∙3+4; (60-2∙5):10. Записи, де знаком рівності об'єднані 2 числові вирази, є числовими рівностями. Рівність має ліву і праву частини. Порядок виконання арифметичних процесів. Додавання і віднімання чисел - це дії першого ступеня, а множення та розподіл - це дії другого ступеня. Коли числове вираз складається з дій лише одного ступеня, їх виконують послідовнозліва направо. Коли вирази складаються з дії лише першого та другого ступеня, то спочатку виконують дії другого ступеня, а потім – дії першого ступеня. Коли у виразі є дужки – спочатку виконують дії у дужках. Наприклад, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.