Як вважається пропорція. Відносини та пропорції Відношення пропорції основна властивість пропорції

Відношення двох чисел

Визначення 1

Відношенням двох чиселє їхня приватна.

Приклад 1

ставлення $18$ до $3$ може бути записано як:

$18\div 3=\frac(18)(3)=6$.

відношення $5$ до $15$ може бути записано як:

$5\div 15=frac(5)(15)=frac(1)(3)$.

За допомогою відносини двох чиселможна показати:

• скільки разів одне число перевищує інше;
• яку частину становить одне число від іншого.

При складанні відношення двох чисел у знаменнику дробу записують число, з яким проводиться порівняння.

Найчастіше таке число слідує після слів «в порівнянні з...» або прийменника «до...».

Згадаймо основну властивість дробу і застосуємо його до відношення:

Зауваження 1

При множенні або розподілі обох членів відношення на те саме число, відмінне від нуля, отримуємо відношення, яке дорівнює вихідному.

Розглянемо приклад, який ілюструє використання поняття відношення двох чисел.

Приклад 2

Кількість опадів у попередньому місяці становила $195$ мм, а цього місяця – $780$ мм. У скільки разів збільшилася кількість опадів цього місяця порівняно з попереднім місяцем?

Рішення.

Складемо відношення кількості опадів у поточному місяці до кількості опадів у попередньому місяці:

$ frac (780) (195) = frac (780 div 5) (195 div 5) = frac (156 div 3) (39 div 3) = frac (52) (13) = 4 $.

Відповідь: кількість опадів у поточному місяці в $4$ рази більша, ніж у попередньому.

Приклад 3

Знайти скільки разів число $1 \ frac (1) (2) $ міститься в числі $ 13 \ frac (1) (2) $.

Рішення.

$13 \frac(1)(2)\div 1 \frac(1)(2)=\frac(27)(2)\div \frac(3)(2)=\frac(27)(2) \cdot \frac(2)(3)=\frac(27)(3)=9$.

Відповідь: $9$ разів.

Поняття пропорції

Визначення 2

Пропорцієюназивається рівність двох відносин:

$a\div b=c\div d$

$\frac(a)(b)=\frac(c)(d)$.

Приклад 4

$3\div 6=9\div 18$, $5\div 15=9\div 27$, $4\div 2=24\div 12$,

$ frac (8) (2) = frac (36) (9) $, $ frac (10) (40) = frac (9) (36) $, $ frac (15) (75) = frac (1) (5) $.

У пропорції $\frac(a)(b)=\frac(c)(d)$ (або $a:b = з\div d$) числа a і d називаються крайніми членамипропорції, а числа $b$ і $c$ - середні членипропорції.

Правильну пропорцію можна перетворити так:

Примітка 2

Добуток крайніх членів правильної пропорції дорівнює добутку середніх членів:

$a \cdot d=b \cdot c$.

Дане твердження є основною властивістю пропорції.

Справедливе та зворотне твердження:

Примітка 3

Якщо добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку її середніх членів, то правильна пропорція.

Примітка 4

Якщо в правильній пропорції переставити середні або крайні члени, то пропорції, які вийдуть, також будуть правильними.

Приклад 5

$6\div 3=18\div 9$, $15\div 5=27\div 9$, $2\div 4=12\div 24$,

$ frac (2) (8) = frac (9) (36) $, $ frac (40) (10) = frac (36) (9) $, $ frac (75) (15) = frac (5) (1) $.

За допомогою даної властивості легко з пропорції знайти невідомий член, якщо відомі інші три:

$ a = \ frac (b \ cdot c) (d) $; $b=\frac(a \cdot d)(c)$; $c=\frac(a \cdot d)(b)$; $d=\frac(b \cdot c)(a)$.

Приклад 6

$\frac(6)(a)=\frac(16)(8)$;

$6 \cdot 8 = 16 \cdot a$;

$ 16 \ cdot a = 6 \ cdot 8 $;

$ 16 \ cdot a = 48 $;

$a=\frac(48)(16)$;

Приклад 7

$\frac(a)(21)=\frac(8)(24)$;

$a \cdot 24 = 21 \cdot 8 $;

$a \cdot 24 = 168 $;

$a=\frac(168)(24)$;

$3$ садівника – $108$ дерев;

$x$ садівників – $252$ дерева.

Складемо пропорцію:

$\frac(3)(x)=\frac(108)(252)$.

Скористаємося правилом знаходження невідомого члена пропорції:

$b=\frac(a \cdot d)(c)$;

$x=\frac(3 \cdot 252)(108)$;

$ x = \ frac (252) (36) $;

Відповідь: для обрізки $252$ дерев буде потрібно $7$ садівників.

Найчастіше властивості пропорції використовують практично у математичних обчисленнях у разі, коли необхідно обчислити значення невідомого члена пропорції, якщо відомі значення трьох інших членів.

Рівність двох відносин називають пропорцією.

a :b =c :d. Це пропорція. Читають: атак ставиться до b, як cвідноситься до d. Числа aі dназивають крайнімичленами пропорції, а числа bі c – середнімичленами пропорції.

Приклад пропорції: 1 2 : 3 = 16 : 4 . Це рівність двох відносин: 12:3 = 4 та 16:4= 4 . Читають: дванадцять так відноситься до трьох, як шістнадцять відноситься до чотирьох. Тут 12 і 4 крайні члени пропорції, а 3 і 16 - середні члени пропорції.

Основна властивість пропорції.

Добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку її середніх членів.

Для пропорції a :b =c :dабо a / b = c / dосновна властивість записується так: a d = b c .

Для нашої пропорції 12:3 = 16:4 основна властивість запишеться так: 12·4 = 3·16 . Виходить правильна рівність: 48 = 48 .

Щоб знайти невідомий крайній член пропорції, потрібно твір середніх пропорцій розділити на відомий крайній член.

приклади.

1) х: 20 = 2: 5. У нас хі 5 - крайні члени пропорції, а 20 і 2 - Середні.

Рішення.

х = (20 · 2): 5- Треба перемножити середні члени ( 20 і 2 ) і результат розділити на відомий крайній член (число 5 );

х = 40: 5- Добуток середніх членів ( 40 ) розділимо на відомий крайній член ( 5 );

х = 8.Отримали потрібний крайній член пропорції.

Найзручніше записувати знаходження невідомого члена пропорції за допомогою звичайного дробу. Ось як тоді запишеться розглянутий нами приклад:

Шуканий крайній член пропорції ( х) дорівнюватиме добутку середніх членів ( 20 і 2 ), поділеному на відомий крайній член ( 5 ).

Скорочуємо дріб на 5 (ділимо на 5 х.

Ще такі приклади знаходження невідомого крайнього члена пропорції.

Щоб знайти невідомий середній член пропорції, потрібно добуток крайніх членів пропорції розділити відомий середній член.

приклади.Знайти невідомий середній член пропорції.

5) 9: х = 3: 14.Число 3 - Відомий середній член цієї пропорції, числа 9 і 14 - Крайні члени пропорції.

Рішення.

х = (9 · 14): 3 -перемножимо крайні члени пропорції та результат розділимо на відомий середній член пропорції;

х = 136:3;

х = 42.

Рішення цього прикладу можна записати інакше:

Шуканий середній член пропорції ( х) дорівнюватиме добутку крайніх членів ( 9 і 14 ), поділеному на відомий середній член ( 3 ).

Скорочуємо дріб на 3 (ділимо на 3 і чисельник та знаменник дробу). Знаходимо значення х.

Якщо забули, як скорочувати прості дроби, то повторіть тему: « »

Ще такі приклади знаходження невідомого середнього члена пропорції.

Скласти пропорцію. У цій статті хочу поговорити з вами про пропорцію. Розуміти, що таке пропорція, вміти складати її – це дуже важливо, вона справді рятує. Це начебто маленька і незначна «літерка» у великому алфавіті математики, але без неї математика приречена бути кульгавою та неповноцінною.Спочатку нагадаю, що таке пропорція. Це рівність виду:

що те саме (це різна форма запису).

Приклад:

Кажуть – один відноситься до двох так само, як чотири відноситься до восьми. Тобто це рівність двох відносин (у цьому прикладі відносини числові).

Основне правило пропорції:

a:b=c:d

добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх

тобто

a∙d=b∙c

*Якщо будь-яка величина в пропорції невідома, її можна знайти.

Якщо розглядати форму запису виду:

то можна використовувати таке правило, його називають «правило хреста»: записується рівність творів елементів (чисел або виразів), що стоять по діагоналі

a∙d=b∙c

Як бачите результат той самий.

Якщо три елементи пропорції відомі, томи завжди можемо знайти четверте.

Саме в цьому суть користі та необхідністьпропорції під час вирішення завдань.

Давайте розглянемо всі варіанти, де невідома величина х знаходиться в будь-якому місці пропорції, де a, b, c - числа:

Величина, що стоїть по діагоналі від х записується в знаменник дробу, а відомі величини, що стоять по діагоналі, записуються в чисельник, як добуток. Його запам'ятовувати не обов'язково, ви і так все правильно обчислите, якщо засвоїли головне правило пропорції.

Тепер головне питання, пов'язане із назвою статті. Коли пропорція рятує та де використовується? Наприклад:

1. Насамперед це завдання відсотки. Ми розглядали їх у статтях "" та "".

2. Багато формул задані у вигляді пропорцій:

> теорема синусів

> відношення елементів у трикутнику

> теорема тангенсів

> теорема Фалеса та інші.

3. У завданнях з геометрії в умові часто задається відношення сторін (інших елементів) або площ, наприклад, 1:2, 2:3 та інші.

4. Переклад одиниць виміру, причому пропорція використовується для переведення одиниць як в одній мірі, так і для переведення з одного заходу до іншого:

- Годинник у хвилини (і навпаки).

- Одиниці об'єму, площі.

- Довжини, наприклад милі в кілометри (і навпаки).

- градуси в радіани (і навпаки).

тут без складання пропорції не обійтися.

Ключовий момент у тому, що потрібно правильно встановити відповідність, розглянемо прості приклади:

Необхідно визначити число, що становить 35% від 700.

У завдання на проценти за 100% приймається та величина, з якою порівнюємо. Невідоме число позначимо як х. Встановимо відповідність:

Можна сміливо сказати, що сімсот тридцяти п'яти відповідає 100 відсотків.

Ікс відповідає 35 відсотків. Значить,

700 – 100%

х – 35%

Вирішуємо

Відповідь: 245

Переведемо 50 хвилин на годину.

Ми знаємо, що одній годині відповідає 60 хвилин. Позначимо відповідність -x годин це 50 хвилин. Значить

1 – 60

х – 50

Вирішуємо:

Тобто 50 хвилин це п'ять шостих годин.

Відповідь: 5/6

Микола Петрович проїхав 3 кілометри. Скільки це буде за милі (врахувати, що 1 миля це 1,6 км)?

Відомо, що 1 миля – це 1,6 кілометра. Число миль, які проїхав Микола Петрович приймемо за х. Можемо встановити відповідність:

Однією милі відповідає 1,6 км.

Ікс миль це три кілометри.

1 – 1,6

х – 3

Відповідь: 1,875 миль

Ви знаєте, що для переведення градусів у радіани (і назад) існують формули. Я їх не записую, тому що запам'ятовувати їх вважаю зайвим, і так вам у пам'яті доводиться тримати багато інформації. Ви завжди зможете перевести градуси у радіани (і назад), якщо скористаєтеся пропорцією.

Переведемо 65 градусів у радіальну міру.

Головне це запам'ятати, що 180 градусів – це Пі радіан.

Позначимо шукану величину як х. Встановлюємо відповідність.

Ста вісімдесяти градусів відповідає Пі радіан.

Шістдесят п'ять градусів відповідає х радіан. вивчити статтю на цю тему на блозі. Матеріал у ній викладено трохи інакше, але принцип той самий. На цьому закінчу. Обов'язково буде ще щось цікавеньке, не пропустіть!

Якщо згадати саме визначення математики, то в ньому є такі слова: математика вивчає кількісні ВІДНОСИНИ (ВІДНОСИНИ- тут ключове слово). Як бачите у самому визначенні математики закладено пропорцію. Втім, математика без пропорції це не математика!

Всього найкращого!

З повагою, Олександр

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.

Формула пропорцій

Пропорція - це рівність двох відносин, коли a:b=c:d

відношення 1 : 10 дорівнює відношенню 7 : 70, що також можна записати у вигляді дробу: 1 10 = 7 70 читається як: «один відноситься до десяти так само, як сім відноситься до сімдесяти»

Основні властивості пропорції

Добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх членів (хрест-навхрест): якщо a:b=c:d , то a⋅d=b⋅c

1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7

Звернення пропорції: якщо a:b=c:d , то b:a=d:c

1 10 7 70 10 1 = 70 7

Перестановка середніх членів: якщо a:b=c:d , a:c=b:d

1 10 7 70 1 7 = 10 70

Перестановка крайніх членів: якщо a:b=c:d , то d:b=c:a

1 10 7 70 70 10 = 7 1

Вирішення пропорції з одним невідомим | Рівняння

1 : 10 = x : 70 або 1 10 = x 70

Щоб знайти ікс, потрібно перемножити два відомі числа хрест-навхрест і поділити на протилежне значення

x = 1 ⋅ 70 10 = 7

Як порахувати пропорцію

Завдання:потрібно пити 1 таблетку активованого вугілля на 10 кілограмів ваги. Скільки пігулок потрібно випити, якщо людина важить 70 кг?

Складемо пропорцію: 1 таблетка – 10 кг xтаблеток - 70 кг Щоб знайти ікс, потрібно перемножити два відомі числа хрест-навхрест і поділити на протилежне значення: 1 таблетка xтаблеток✕ 10 кг 70 кг x = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 Відповідь: 7 таблеток

Завдання:за п'ять годин Вася пише дві статті. Скільки статей він напише за 20:00?

Складемо пропорцію: 2 статті – 5 годин xстатей - 20 годин x = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 Відповідь: 8 статей

Майбутнім випускникам шкіл можу сказати, що вміння складати пропорції мені знадобилося і для того, щоб пропорційно зменшувати картинки, і в HTML-верстці інтернет-сторінки, і в побутових ситуаціях.

Пропорція – рівність двох відносин, тобто рівність виду a: b = c: d , або, в інших позначеннях, рівність

Якщо a : b = c : d, то aі dназивають крайніми, а bі c - середнімичленами пропорції.

Від «пропорції» нікуди не дітись, без неї не обійтися в багатьох завданнях. Вихід тільки один – розібратися з цим ставленням та користуватися пропорцією як паличкою-виручалочкою.

Перш ніж розпочинати розгляд завдань на пропорцію, важливо згадати основне правило пропорції:

У пропорції

добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх

Якщо якась величина у пропорції невідома, її легко буде знайти, спираючись на це правило.

Наприклад,

Тобто невідома величина пропорції – значення дробу, у знаменнику якої – те число, яке стоїть навпроти невідомої величини , у чисельнику – твір членів пропорції, що залишилися (незалежно від того, де ця невідома величина стоїть).

Завдання 1.

З 21 кг бавовняного насіння одержали 5,1 кг олії. Скільки олії вийде з 7 кг бавовняного насіння?

Рішення:

Ми розуміємо, що зменшення ваги насіння у скільки разів, тягне за собою зменшення ваги одержуваної олії у стільки ж разів. Тобто величини пов'язані прямою залежністю.

Заповнимо таблицю:

Невідома величина – значення дробу , у знаменнику якої – 21 – величина, що стоїть навпроти невідомого в таблиці, у чисельнику – твір членів таблиці-пропорції, що залишилися.

Тому отримуємо, що з 7 кг насіння вийде 1,7 кг олії.

Щоб правильно заповнювати таблицю, важливо пам'ятати правило:

Однакові назви потрібно записувати один під одним. Відсотки записуємо під відсотками, кілограми під кілограмами тощо

Завдання 2.

Перевести в радіани.

Рішення:

Ми знаємо, що . Заповнимо таблицю:

Відповідь:

Завдання 3.

На папері в картатий зображено коло. Яка площа кола, якщо площа заштрихованого сектора дорівнює 27?

Рішення:

Добре видно, що незаштрихований сектор відповідає куту (наприклад, тому, що сторони сектора утворені бісектрисами двох суміжних прямих кутів). А оскільки все коло складає, то на зафарбований сектор доводиться.

Складемо таблицю:

Звідки площа кола – є.

Відповідь:

Завдання 4.Після того, як було орано 82% всього поля, залишилося зорати ще 9 га. Яка площа всього поля?

Рішення:

Все поле становить 100%, і оскільки зорено 82%, то залишилося зорати 100%-82% = 18% поля.

Заповнюємо таблицю:

Звідки одержуємо, що все поле складає (га).

Відповідь:

А наступне завдання – із засідкою.

Завдання 5.

Відстань між двома містами пасажирський поїзд пройшов зі швидкістю 80 км/год за 3 години. За скільки годин товарний поїзд пройде та сама відстань зі швидкістю 60 км/год?

Рішення:

Якщо ви вирішуватимете це завдання аналогічно попередньому, то отримаєте наступне:

час, який буде потрібний товарному поїзду, щоб пройти ту ж відстань, що й пасажирським, є години. Тобто, виходить, що йдучи з меншою швидкістю, він долає (за один і той же час) відстань швидше, ніж поїзд із більшою швидкістю.

У чому помилка міркувань?

Досі ми розглядали завдання, де величини були прямопропорційні один одному , тобто зрістоднієї величини в кілька разів, дає зрістпов'язаної з нею другої величини в стільки ж разів (аналогічно зі зменшенням, звичайно). А тут у нас інша ситуація: швидкість пасажирського поїзда більшешвидкості товарного у скільки разів, а ось час, необхідний на подолання однієї й тієї ж відстані, потрібен пасажирському поїзду меншеу стільки ж разів, ніж товарного поїзда. Тобто величини одна одній назад пропорційні .

Схему, якою ми користувалися досі, треба трохи змінити у цьому випадку.

Рішення:

Розмірковуємо так:

Пасажирський поїзд зі швидкістю 80 км/год їхав 3 год, отже він проїхав км. Отже товарний поїзд цю ж відстань подолає за год.

Тобто, якби ми становили пропорцію, нам слід було б поміняти місцями осередки правої колонки заздалегідь. Отримали б: год.

Відповідь: .

Тому, будь ласка, будьте уважні при складанні пропорції. Розберіться спочатку, з якою залежністю маєте справу – із прямою чи зворотною.